Номер 14, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

14. Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны $15 \, \text{дм}^2$, $36 \, \text{дм}^2$ и $60 \, \text{дм}^2$. Найдите его три измерения.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда — его длина, ширина и высота — равны $a$, $b$ и $c$.

Прямоугольный параллелепипед имеет три пары равных граней. Три грани, сходящиеся в одной вершине, являются прямоугольниками с площадями, равными произведениям пар его измерений. Обозначим эти площади как $S_1$, $S_2$ и $S_3$.

Согласно условию задачи, площади трех граней равны 15 дм², 36 дм² и 60 дм². Мы можем составить систему из трех уравнений, связав измерения с площадями:
$a \cdot b = 15$
$a \cdot c = 36$
$b \cdot c = 60$

Для решения этой системы уравнений перемножим все три уравнения между собой:
$(a \cdot b) \cdot (a \cdot c) \cdot (b \cdot c) = 15 \cdot 36 \cdot 60$
$a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 32400$
$(a \cdot b \cdot c)^2 = 32400$

Произведение $a \cdot b \cdot c$ равно объему $V$ параллелепипеда. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти объем (поскольку измерения являются положительными величинами, объем также положителен):
$V = a \cdot b \cdot c = \sqrt{32400} = \sqrt{324 \cdot 100} = 18 \cdot 10 = 180$ дм³

Теперь, зная объем и площади граней, мы можем найти каждое из трех измерений. Для этого нужно разделить объем на площадь грани, которая не включает искомое измерение.

Найдем измерение $c$, разделив объем на площадь грани $a \cdot b$:
$c = \frac{a \cdot b \cdot c}{a \cdot b} = \frac{180}{15} = 12$ дм.

Найдем измерение $b$, разделив объем на площадь грани $a \cdot c$:
$b = \frac{a \cdot b \cdot c}{a \cdot c} = \frac{180}{36} = 5$ дм.

Найдем измерение $a$, разделив объем на площадь грани $b \cdot c$:
$a = \frac{a \cdot b \cdot c}{b \cdot c} = \frac{180}{60} = 3$ дм.

Таким образом, мы нашли три измерения параллелепипеда: 3 дм, 5 дм и 12 дм. Проведем проверку, вычислив площади граней с этими измерениями:
Площадь первой грани: $3 \cdot 5 = 15$ дм².
Площадь второй грани: $3 \cdot 12 = 36$ дм².
Площадь третьей грани: $5 \cdot 12 = 60$ дм².
Полученные площади соответствуют условию задачи.

Ответ: три измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 дм, 5 дм и 12 дм.