Номер 21, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

21. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 12 дм, а боковое ребро – 15 дм. Через середину ее высоты проведена секущая плоскость параллельно основанию пирамиды. Найдите площадь сечения.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, где S — вершина, а ABCD — квадратное основание. Высота пирамиды — SO, где O — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).

По условию задачи известны:

• Сторона основания $a = 12$ дм.
• Боковое ребро $l = 15$ дм.

Через середину высоты SO проведена секущая плоскость, параллельная основанию. Обозначим точку пересечения этой плоскости с высотой как O'. Таким образом, $SO' = \frac{1}{2}SO$.

Изобразим пирамиду и сечение на рисунке:

Сечение, образованное плоскостью, параллельной основанию, является многоугольником, подобным основанию. Так как основание пирамиды — квадрат, то сечение A'B'C'D' также является квадратом.

Секущая плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду SA'B'C'D', которая подобна большой пирамиде SABCD. Коэффициент подобия $k$ этих пирамид равен отношению их высот:

$k = \frac{SO'}{SO}$

По условию, секущая плоскость проведена через середину высоты, следовательно:

$SO' = \frac{1}{2} SO$

Тогда коэффициент подобия равен:

$k = \frac{\frac{1}{2}SO}{SO} = \frac{1}{2}$

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Пусть $S_{сеч}$ — площадь сечения, а $S_{осн}$ — площадь основания. Тогда:

$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Сначала найдем площадь основания. Основание — это квадрат со стороной $a = 12$ дм.

$S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144$ дм$^2$

Теперь можем вычислить площадь сечения:

$S_{сеч} = S_{осн} \cdot \frac{1}{4} = 144 \cdot \frac{1}{4} = 36$ дм$^2$

Заметим, что длина бокового ребра (15 дм) является избыточной информацией и не требуется для решения задачи.

Ответ: 36 дм$^2$.