Номер 15, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

15. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Боковое ребро параллелепипеда равно 12,5 см. Найдите его полную поверхность.

Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда находится по формуле: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$, где $S_{бок}$ — это площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ — площадь основания.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$)

Основанием параллелепипеда является ромб с диагоналями $d_1 = 10$ см и $d_2 = 24$ см. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 5 \cdot 24 = 120$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности ($S_{бок}$)

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда (и любой прямой призмы) равна произведению периметра основания на высоту: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$.

Высота параллелепипеда равна его боковому ребру, то есть $h = 12,5$ см.

Для нахождения периметра основания ($P_{осн}$) сначала нужно найти сторону ромба ($a$). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Они образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Катеты такого треугольника равны половинам диагоналей, а гипотенуза — стороне ромба.

Половины диагоналей: $\frac{10}{2} = 5$ см и $\frac{24}{2} = 12$ см.

По теореме Пифагора найдем сторону ромба $a$:

$a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Периметр ромба равен $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 13 = 52$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 52 \cdot 12,5 = 650$ см².

3. Найдем площадь полной поверхности ($S_{полн}$)

Сложим удвоенную площадь основания и площадь боковой поверхности:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 120 + 650 = 240 + 650 = 890$ см².

Ответ: 890 см².