Номер 22, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

22. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равны 18 дм, а высота пирамиды — 26 дм. Через середину бокового ребра пирамиды проведена секущая плоскость параллельно основанию. Найдите площадь сечения.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $VABC$, где $ABC$ – равносторонний треугольник в основании, а $V$ – вершина пирамиды. Сторона основания $a = AB = BC = CA = 18$ дм. Высота пирамиды $H = VO = 26$ дм, где $O$ – центр основания (точка пересечения медиан, биссектрис и высот треугольника $ABC$).

Через середину бокового ребра, например, ребра $VA$, проведена секущая плоскость, параллельная основанию $ABC$. Обозначим эту точку середины как $M$.

Сечение, параллельное основанию, является многоугольником, подобным основанию. Так как основание – равносторонний треугольник, то и сечение будет равносторонним треугольником. Обозначим его $A'B'C'$.

Секущая плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду $VA'B'C'$, подобную исходной пирамиде $VABC$. Коэффициент подобия $k$ этих пирамид равен отношению их высот или отношению длин соответственных ребер.

По условию, секущая плоскость проходит через точку $M$ – середину бокового ребра $VA$. Следовательно, $VM = \frac{1}{2} VA$. Так как пирамиды подобны, отношение их соответственных ребер равно коэффициенту подобия: $k = \frac{VM}{VA} = \frac{1}{2}$.

Стоит отметить, что высота меньшей пирамиды $VO'$ также будет вдвое меньше высоты исходной пирамиды $VO$: $VO' = \frac{1}{2} VO$. Информация о высоте $H = 26$ дм является избыточной для нахождения площади сечения, так как положение секущей плоскости задано относительно бокового ребра.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{сечения}}{S_{основания}} = k^2$

Сначала найдем площадь основания $S_{основания}$. Основание – это равносторонний треугольник со стороной $a = 18$ дм. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны основания: $S_{основания} = \frac{18^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{324 \sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3}$ дм$^2$.

Теперь найдем площадь сечения $S_{сечения}$, используя найденный коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$: $S_{сечения} = S_{основания} \cdot k^2 = 81\sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 81\sqrt{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ дм$^2$.

Площадь сечения можно также вычислить, найдя сначала сторону сечения $a'$. Сторона сечения $a'$ относится к стороне основания $a$ так же, как и коэффициент подобия: $a' = a \cdot k = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ дм.

Тогда площадь сечения (равностороннего треугольника со стороной 9 дм) равна: $S_{сечения} = \frac{(a')^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{9^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ дм$^2$.

Ответ: $\frac{81\sqrt{3}}{4}$ дм$^2$.