Номер 28, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

28. Радиус цилиндра 12 см, диагональ осевого сечения 30 см. Найдите:

а) высоту цилиндра;

б) площадь осевого сечения;

в) площадь боковой поверхности;

г) площадь поверхности цилиндра.

По условию задачи, радиус основания цилиндра $r = 12$ см, а диагональ осевого сечения $d = 30$ см.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$, а другая - диаметру основания $D$. Диагональ этого прямоугольника является диагональю осевого сечения.

Найдем диаметр основания цилиндра:

$D = 2r = 2 \cdot 12 = 24$ см.

а) высоту цилиндра

Высоту цилиндра $h$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, диаметром $D$ и диагональю осевого сечения $d$. По теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + D^2$

Отсюда выразим высоту $h$:

$h^2 = d^2 - D^2$

$h = \sqrt{d^2 - D^2}$

Подставим известные значения:

$h = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$ см.

Ответ: высота цилиндра равна 18 см.

б) площадь осевого сечения

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ - это площадь прямоугольника со сторонами $D$ и $h$.

$S_{сеч} = D \cdot h$

Подставим найденные значения:

$S_{сеч} = 24 \cdot 18 = 432$ см$^2$.

Ответ: площадь осевого сечения равна 432 см$^2$.

в) площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2\pi rh$

Подставим известные значения:

$S_{бок} = 2\pi \cdot 12 \cdot 18 = 432\pi$ см$^2$.

Ответ: площадь боковой поверхности равна $432\pi$ см$^2$.

г) площадь поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований. Площадь одного основания $S_{осн}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi r^2$

$S_{осн} = \pi \cdot 12^2 = 144\pi$ см$^2$.

Площадь полной поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

$S_{полн} = 432\pi + 2 \cdot 144\pi = 432\pi + 288\pi = 720\pi$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности цилиндра равна $720\pi$ см$^2$.