Номер 32, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

32. Высота цилиндра 15 см, радиус 13 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и отстоящей от нее на 12 см.

По условию задачи, высота цилиндра $H = 15$ см, а радиус его основания $R = 13$ см.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а другая сторона, обозначим ее $w$, является хордой окружности основания цилиндра.

Площадь этого прямоугольника (сечения) вычисляется по формуле: $S = w \times H$

Чтобы найти площадь сечения, нам необходимо определить длину хорды $w$.

Рассмотрим основание цилиндра. Это круг с центром O и радиусом $R = 13$ см. Секущая плоскость находится на расстоянии $d = 12$ см от оси цилиндра. Это расстояние равно перпендикуляру, опущенному из центра основания O на хорду $w$.

Нарисуем вид сверху на основание цилиндра:

Радиус $R$, проведенный к одному из концов хорды, расстояние $d$ от центра до хорды и половина хорды $\frac{w}{2}$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• гипотенуза - это радиус $R$;
• один катет - это расстояние $d$;
• второй катет - это половина хорды $\frac{w}{2}$.

По теореме Пифагора: $R^2 = d^2 + (\frac{w}{2})^2$

Выразим и найдем половину хорды: $(\frac{w}{2})^2 = R^2 - d^2$ $(\frac{w}{2})^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$ $\frac{w}{2} = \sqrt{25} = 5$ см

Следовательно, полная длина хорды $w$ равна: $w = 2 \times 5 = 10$ см

Теперь мы можем найти площадь сечения (прямоугольника), зная обе его стороны: высоту $H = 15$ см и ширину $w = 10$ см. $S = w \times H = 10 \text{ см} \times 15 \text{ см} = 150 \text{ см}^2$

Ответ: $150 \text{ см}^2$.