Номер 26, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

26. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 12 см, боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площади диагональных сечений.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S и основанием ABCDEF. Пусть O — центр основания. По условию, сторона основания $a = 12$ см. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между боковым ребром (например, SA) и его проекцией на плоскость основания (OA). Таким образом, $\angle SAO = 45^\circ$.

Для решения задачи сначала найдем высоту пирамиды. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO, в котором SO — высота пирамиды $H$, а катет AO — это радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника в основании. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, следовательно, $AO = a = 12$ см.

Высоту пирамиды $H$ можно найти из треугольника SAO:

$H = SO = AO \cdot \tan(\angle SAO) = 12 \cdot \tan(45^\circ) = 12 \cdot 1 = 12$ см.

В правильной шестиугольной пирамиде существует два типа диагональных сечений, так как у правильного шестиугольника есть два типа диагоналей: большие и малые.

Площадь большего диагонального сечения

Большее диагональное сечение — это треугольник, проходящий через большую диагональ основания (например, AD) и вершину пирамиды S. Таким сечением является равнобедренный треугольник SAD.

Основание этого треугольника — большая диагональ $AD$. Ее длина равна двум сторонам основания: $d_1 = AD = 2a = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Высотой треугольника SAD, проведенной из вершины S, является высота пирамиды $SO$, так как $SO \perp AD$. Таким образом, высота сечения равна $H = 12$ см.

Площадь большего диагонального сечения $S_1$ вычисляется по формуле площади треугольника:

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 12 = 144$ см$^2$.

Ответ: $144$ см$^2$.

Площадь меньшего диагонального сечения

Меньшее диагональное сечение — это треугольник, проходящий через меньшую диагональ основания (например, AC) и вершину пирамиды S. Таким сечением является равнобедренный треугольник SAC.

Основание этого треугольника — меньшая диагональ $AC$. Длину меньшей диагонали правильного шестиугольника можно найти по формуле $d_2 = a\sqrt{3}$.

$d_2 = AC = 12\sqrt{3}$ см.

Боковыми сторонами треугольника SAC являются боковые ребра пирамиды SA и SC. Найдем длину бокового ребра из прямоугольного треугольника SAO по теореме Пифагора:

$SA^2 = AO^2 + SO^2 = 12^2 + 12^2 = 144 + 144 = 288$.

$SA = \sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$ см.

Для нахождения площади треугольника SAC проведем в нем высоту SK к основанию AC. Поскольку треугольник SAC равнобедренный ($SA=SC$), высота SK является также и медианой, поэтому точка K — середина отрезка AC.

$AK = \frac{AC}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SKA. По теореме Пифагора найдем высоту SK:

$SK^2 = SA^2 - AK^2 = (12\sqrt{2})^2 - (6\sqrt{3})^2 = 288 - (36 \cdot 3) = 288 - 108 = 180$.

$SK = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$ см.

Теперь можем найти площадь меньшего диагонального сечения $S_2$:

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{5} = 6\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{5} = 36\sqrt{15}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{15}$ см$^2$.