Номер 19, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

19. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна 100 $см^2$. Боковое ребро 13 см. Найдите апофему и площадь боковой поверхности пирамиды.

По условию, нам дана правильная четырехугольная пирамида. Это означает, что в ее основании лежит квадрат, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Площадь основания (квадрата) $S_{осн} = 100$ см².
Длина бокового ребра $l = 13$ см.

Найдем сторону основания ($a$). Так как основание — квадрат, его площадь равна $S_{осн} = a^2$.
$a^2 = 100$ см²
$a = \sqrt{100} = 10$ см.

Найти апофему

Апофема ($h_a$) — это высота боковой грани правильной пирамиды. Рассмотрим боковую грань SBC. Это равнобедренный треугольник с основанием BC=10 см и боковыми сторонами SB = SC = 13 см.
Апофема SM является высотой этого треугольника, а также его медианой. Следовательно, она делит сторону BC пополам: $BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SMB (с прямым углом M).
Гипотенуза — боковое ребро $SB = 13$ см.
Один катет — половина стороны основания $MB = 5$ см.
Другой катет — апофема $SM = h_a$.
По теореме Пифагора: $SB^2 = SM^2 + MB^2$.
$13^2 = h_a^2 + 5^2$
$169 = h_a^2 + 25$
$h_a^2 = 169 - 25$
$h_a^2 = 144$
$h_a = \sqrt{144} = 12$ см.
Ответ: апофема равна 12 см.

Найти площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) правильной пирамиды вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h_a$, где $P$ — периметр основания, а $h_a$ — апофема.
Периметр основания (квадрата) равен:
$P = 4 \cdot a = 4 \cdot 10 = 40$ см.
Апофема $h_a = 12$ см.
Подставляем значения в формулу:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 12 = 20 \cdot 12 = 240$ см².
Альтернативный способ: найти площадь одной боковой грани (треугольника) и умножить на количество граней (четыре).
$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см².
$S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 60 = 240$ см².
Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды равна 240 см².