Номер 24, страница 66 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

24. Высота пирамиды равна 13 м. Площадь основания 576 $ \text{м}^2 $. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 144 $ \text{м}^2 $?

Для решения этой задачи используется свойство сечения пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Такое сечение отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду, которая подобна исходной.
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В данном случае, коэффициент подобия равен отношению высот малой и большой пирамид.

Введем обозначения:
$H$ – высота исходной пирамиды, $H = 13$ м.
$S_{осн}$ – площадь основания исходной пирамиды, $S_{осн} = 576$ м².
$S_{сеч}$ – площадь сечения, $S_{сеч} = 144$ м².
$h$ – высота отсеченной (меньшей) пирамиды, то есть расстояние от вершины до плоскости сечения.
$d$ – искомое расстояние от основания до сечения.

Математически это свойство выражается следующей формулой:
$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = \left(\frac{h}{H}\right)^2$

Подставим в формулу известные значения:
$\frac{144}{576} = \left(\frac{h}{13}\right)^2$

Упростим дробь в левой части уравнения. Можно заметить, что $576 = 4 \times 144$.
$\frac{144}{576} = \frac{1}{4}$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$\frac{1}{4} = \left(\frac{h}{13}\right)^2$

Чтобы найти отношение высот, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку высота является положительной величиной, мы рассматриваем только арифметический корень.
$\sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{\left(\frac{h}{13}\right)^2}$
$\frac{1}{2} = \frac{h}{13}$

Теперь найдем высоту меньшей пирамиды $h$:
$h = 13 \cdot \frac{1}{2} = 6.5$ м.

Полученное значение $h = 6.5$ м – это расстояние от вершины пирамиды до плоскости сечения. В задаче требуется найти расстояние от основания до сечения. Это расстояние $d$ равно разности полной высоты пирамиды $H$ и высоты меньшей пирамиды $h$:
$d = H - h$
$d = 13 - 6.5 = 6.5$ м.

Ответ: 6.5 м.