Номер 34, страница 67 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

34. Радиус цилиндра 6 дм, а высота 10 дм. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной основанию и отсекающей от окружности основания дугу в 120°.

Согласно условию задачи, радиус цилиндра $r = 6$ дм, а его высота $h = 10$ дм. Сечение цилиндра производится плоскостью, которая перпендикулярна основанию. Такое сечение всегда представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра $h$. Вторая сторона, обозначим ее $w$, является хордой в окружности основания, которая отсекает (стягивает) дугу в $120°$. Таким образом, чтобы найти площадь сечения, нам нужно найти площадь этого прямоугольника, а для этого сначала вычислить длину хорды $w$.

Рассмотрим основание цилиндра. Хорда $AB$ (которая является стороной $w$ нашего прямоугольного сечения) стягивает дугу в $120°$. Если соединить концы хорды с центром окружности $O$, мы получим равнобедренный треугольник $\triangle AOB$, в котором стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу $r=6$ дм, а угол между ними $\angle AOB$ равен центральному углу, опирающемуся на дугу, то есть $\angle AOB = 120°$.
Для нахождения длины хорды $w = AB$ проведем высоту $OM$ из вершины $O$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также биссектрисой и медианой. Следовательно, $\triangle OMA$ - прямоугольный, угол $\angle AOM = \frac{120°}{2} = 60°$, а катет $AM$ равен половине хорды: $AM = \frac{w}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle OMA$ имеем:$AM = OA \cdot \sin(\angle AOM)$Подставим известные значения:$\frac{w}{2} = r \cdot \sin(60°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ дм.Следовательно, длина всей хорды $w$ равна:$w = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ дм.
Теперь мы можем вычислить площадь сечения $S$, которая равна площади прямоугольника со сторонами $h=10$ дм и $w=6\sqrt{3}$ дм:$S = h \cdot w = 10 \cdot 6\sqrt{3} = 60\sqrt{3}$ дм$^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $60\sqrt{3} \text{ дм}^2$.