Страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

1. Как изменится объем цилиндра, если его высоту и радиус основания:

1) увеличить в 2 раза;

2) уменьшить в 2 раза?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой объема цилиндра: $V = \pi R^2 H$, где $V$ — объем, $R$ — радиус основания, а $H$ — высота цилиндра.

Пусть начальный объем цилиндра равен $V_1 = \pi R_1^2 H_1$.

1) увеличить в 2 раза
Согласно условию, новые высота и радиус равны $H_2 = 2H_1$ и $R_2 = 2R_1$.
Подставим эти значения в формулу для вычисления нового объема $V_2$:
$V_2 = \pi R_2^2 H_2 = \pi (2R_1)^2 (2H_1) = \pi (4R_1^2)(2H_1) = 8 \pi R_1^2 H_1$.
Теперь найдем отношение нового объема к первоначальному, чтобы определить, во сколько раз он изменился:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{8 \pi R_1^2 H_1}{\pi R_1^2 H_1} = 8$.
Следовательно, объем цилиндра увеличится в 8 раз.
Ответ: объем увеличится в 8 раз.

2) уменьшить в 2 раза
Согласно условию, новые высота и радиус равны $H_2 = \frac{H_1}{2}$ и $R_2 = \frac{R_1}{2}$.
Подставим эти значения в формулу для вычисления нового объема $V_2$:
$V_2 = \pi R_2^2 H_2 = \pi \left(\frac{R_1}{2}\right)^2 \left(\frac{H_1}{2}\right) = \pi \left(\frac{R_1^2}{4}\right)\left(\frac{H_1}{2}\right) = \frac{1}{8} \pi R_1^2 H_1$.
Найдем отношение нового объема к первоначальному:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{8} \pi R_1^2 H_1}{\pi R_1^2 H_1} = \frac{1}{8}$.
Следовательно, объем цилиндра уменьшится в 8 раз.
Ответ: объем уменьшится в 8 раз.

2. Найдите объем кругового цилиндра, высота которого 5, а радиус основания 2.

Для нахождения объема кругового цилиндра используется формула:
$V = S_{осн} \cdot h$
где $V$ – объем, $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота цилиндра.
Так как в основании цилиндра лежит круг, его площадь вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \pi R^2$
где $R$ – радиус основания.
Совместив обе формулы, получаем формулу для объема цилиндра:
$V = \pi R^2 h$
По условию задачи нам даны:
высота $h = 5$
радиус основания $R = 2$
Подставим эти значения в формулу:
$V = \pi \cdot (2)^2 \cdot 5$
$V = \pi \cdot 4 \cdot 5$
$V = 20\pi$
Ответ: $20\pi$.

3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $S$, а его образующая — $H$.

Найдите объем цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, $H$ — его образующая (которая также является его высотой), $S$ — площадь боковой поверхности, а $V$ — объем цилиндра.

По условию задачи нам даны площадь боковой поверхности $S$ и образующая $H$.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра имеет вид:$S = 2 \pi R H$

Формула для вычисления объема цилиндра:$V = \pi R^2 H$

Наша задача — выразить объем $V$ через данные величины $S$ и $H$. Для этого сначала выразим радиус основания $R$ из формулы площади боковой поверхности:$R = \frac{S}{2 \pi H}$

Теперь подставим это выражение для радиуса $R$ в формулу объема цилиндра:$V = \pi \left(\frac{S}{2 \pi H}\right)^2 H$

Далее, упростим полученное выражение. Сначала возведем в квадрат дробь в скобках:$V = \pi \cdot \frac{S^2}{(2 \pi H)^2} \cdot H = \pi \cdot \frac{S^2}{4 \pi^2 H^2} \cdot H$

Теперь умножим все члены и проведем сокращение. Сокращаем $\pi$ в числителе и знаменателе, а также $H$:$V = \frac{\pi S^2 H}{4 \pi^2 H^2} = \frac{S^2}{4 \pi H}$

Таким образом, мы получили формулу для объема цилиндра, выраженную через площадь его боковой поверхности и образующую.

Ответ: $V = \frac{S^2}{4 \pi H}$

4. Площадь основания цилиндра равна $S_0$, а площадь его боковой поверхности – $S$. Найдите объем цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Объем цилиндра $V$ определяется как произведение площади основания на высоту:
$V = S_{основания} \cdot H$

По условию задачи, площадь основания $S_{основания}$ равна $S_0$. Таким образом, формула для объема принимает вид:
$V = S_0 \cdot H$

Чтобы найти объем, нам необходимо выразить высоту $H$ через заданные величины $S_0$ и $S$.

Площадь основания цилиндра — это площадь круга, которая вычисляется по формуле:
$S_0 = \pi R^2$

Из этой формулы мы можем выразить радиус основания $R$:
$R = \sqrt{\frac{S_0}{\pi}}$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S$ вычисляется по формуле:
$S = 2 \pi R H$

Выразим высоту $H$ из формулы для площади боковой поверхности:
$H = \frac{S}{2 \pi R}$

Теперь подставим ранее найденное выражение для радиуса $R$ в формулу для высоты $H$:
$H = \frac{S}{2 \pi \sqrt{\frac{S_0}{\pi}}}$

Упростим это выражение. Внесем $2\pi$ под знак корня в знаменателе:
$H = \frac{S}{\sqrt{ (2\pi)^2 \cdot \frac{S_0}{\pi} }} = \frac{S}{\sqrt{ 4\pi^2 \cdot \frac{S_0}{\pi} }} = \frac{S}{\sqrt{ 4\pi S_0 }}$

Теперь, когда у нас есть выражение для высоты $H$ через $S$ и $S_0$, мы можем найти объем $V$, подставив его в формулу $V = S_0 \cdot H$:
$V = S_0 \cdot \frac{S}{\sqrt{4\pi S_0}} = S_0 \cdot \frac{S}{2\sqrt{\pi S_0}}$

Упростим полученное выражение для объема, зная, что $S_0 = (\sqrt{S_0})^2$:
$V = \frac{S_0 S}{2\sqrt{\pi}\sqrt{S_0}} = \frac{\sqrt{S_0} S}{2\sqrt{\pi}} = \frac{S}{2}\sqrt{\frac{S_0}{\pi}}$

Ответ: $V = \frac{S \sqrt{S_0}}{2 \sqrt{\pi}}$

5. Сколько бочек длиной 1,5 м и диаметром 0,8 м нужно, чтобы разлить в них содержимое цистерны длиной 4,5 м и диаметром 1,6 м?

Для того чтобы определить, сколько бочек потребуется для розлива содержимого цистерны, необходимо найти объемы цистерны и одной бочки, а затем разделить объем цистерны на объем одной бочки. И цистерна, и бочка имеют форму цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$, где $r$ – это радиус основания цилиндра, а $h$ – его высота (в данном случае – длина).

1. Вычисление объема цистерны ($V_{ц}$).

Длина цистерны $h_{ц} = 4,5$ м.
Диаметр цистерны $d_{ц} = 1,6$ м, следовательно, ее радиус $r_{ц} = \frac{d_{ц}}{2} = \frac{1,6}{2} = 0,8$ м.
Подставляем значения в формулу:
$V_{ц} = \pi \cdot r_{ц}^2 \cdot h_{ц} = \pi \cdot (0,8)^2 \cdot 4,5 = \pi \cdot 0,64 \cdot 4,5 = 2,88\pi$ м³.

2. Вычисление объема одной бочки ($V_{б}$).

Длина бочки $h_{б} = 1,5$ м.
Диаметр бочки $d_{б} = 0,8$ м, следовательно, ее радиус $r_{б} = \frac{d_{б}}{2} = \frac{0,8}{2} = 0,4$ м.
Подставляем значения в формулу:
$V_{б} = \pi \cdot r_{б}^2 \cdot h_{б} = \pi \cdot (0,4)^2 \cdot 1,5 = \pi \cdot 0,16 \cdot 1,5 = 0,24\pi$ м³.

3. Расчет количества бочек ($N$).

Разделим объем цистерны на объем одной бочки:
$N = \frac{V_{ц}}{V_{б}} = \frac{2,88\pi}{0,24\pi}$
Число $\pi$ в числителе и знаменателе сокращается:
$N = \frac{2,88}{0,24} = \frac{288}{24} = 12$.

Также можно было сразу составить отношение, что упрощает вычисления:
$N = \frac{V_{ц}}{V_{б}} = \frac{\pi r_{ц}^2 h_{ц}}{\pi r_{б}^2 h_{б}} = \frac{r_{ц}^2 h_{ц}}{r_{б}^2 h_{б}} = (\frac{r_{ц}}{r_{б}})^2 \cdot \frac{h_{ц}}{h_{б}}$
$N = (\frac{0,8}{0,4})^2 \cdot \frac{4,5}{1,5} = (2)^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12 бочек.

6. Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода (плотность алюминия $2,6 \text{ г/см}^3$).

Для решения задачи необходимо найти длину провода, который имеет форму цилиндра. Мы можем найти его длину, зная массу, плотность и диаметр.

1. Подготовка данных и перевод единиц

В первую очередь, необходимо привести все величины к единой системе измерений. Поскольку плотность дана в г/см³, переведем массу в граммы (г) и диаметр в сантиметры (см).

Масса: $m = 6,8 \text{ кг} = 6,8 \times 1000 \text{ г} = 6800 \text{ г}$.

Диаметр: $d = 4 \text{ мм} = 0,4 \text{ см}$.

Плотность: $\rho = 2,6 \text{ г/см³}$.

2. Определение формул

Масса тела ($m$) связана с его плотностью ($\rho$) и объемом ($V$) следующей формулой:

$m = \rho \cdot V$

Объем провода, имеющего форму цилиндра, вычисляется по формуле:

$V = S \cdot L$

где $S$ — площадь поперечного сечения, а $L$ — длина провода.

Поперечное сечение провода представляет собой круг. Его площадь $S$ вычисляется через диаметр $d$ по формуле:

$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

3. Расчет длины провода

Объединим формулы, чтобы выразить длину $L$ через известные величины. Подставим выражение для объема $V$ в формулу массы:

$m = \rho \cdot S \cdot L$

Теперь подставим формулу для площади сечения $S$:

$m = \rho \cdot \left(\frac{\pi d^2}{4}\right) \cdot L$

Из этого уравнения выразим искомую длину $L$:

$L = \frac{4m}{\rho \pi d^2}$

Подставим наши числовые значения в эту формулу:

$L = \frac{4 \cdot 6800 \text{ г}}{2,6 \text{ г/см³} \cdot \pi \cdot (0,4 \text{ см})^2} = \frac{27200}{2,6 \cdot \pi \cdot 0,16} \text{ см} = \frac{27200}{0,416 \pi} \text{ см}$

Выполним вычисления (используя $\pi \approx 3,14159$):

$L \approx \frac{27200}{0,416 \cdot 3,14159} \approx \frac{27200}{1,3069} \approx 20812,5 \text{ см}$

4. Перевод результата в метры

Полученную длину в сантиметрах переведем в метры, зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

$L = 20812,5 \text{ см} = \frac{20812,5}{100} \text{ м} = 208,125 \text{ м}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: $208,13$ м.

7. Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметром $18 \text{ м}$ и высотой $7 \text{ м}$, если плотность нефти равна $0,85 \text{ г/см}^3$?

Для решения задачи необходимо сначала найти объем цилиндрической цистерны, а затем, зная плотность нефти, вычислить ее массу.

1. Определение объема цистерны

Цистерна имеет форму цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле:

$V = \pi r^2 h$

где $V$ — объем, $r$ — радиус основания, $h$ — высота.

По условию, диаметр цистерны $d = 18$ м, следовательно, радиус $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{18 \text{ м}}{2} = 9 \text{ м}$

Высота цистерны $h = 7$ м.

Подставим значения в формулу объема. Учитывая, что высота равна 7 м, для удобства вычислений примем значение числа $\pi \approx \frac{22}{7}$.

$V = \frac{22}{7} \cdot (9 \text{ м})^2 \cdot 7 \text{ м} = \frac{22}{7} \cdot 81 \text{ м}^2 \cdot 7 \text{ м} = 22 \cdot 81 \text{ м}^3 = 1782 \text{ м}^3$.

2. Преобразование единиц плотности

Плотность нефти дана в г/см³: $\rho = 0,85 \text{ г/см}^3$. Для вычисления массы в тоннах, необходимо привести единицы плотности к т/м³.

Соотношения единиц:

1 т = 1000 кг = 1 000 000 г (или 1 г = $10^{-6}$ т)

1 м = 100 см (или 1 см = $10^{-2}$ м), следовательно, 1 м³ = $(100 \text{ см})^3 = 1 000 000$ см³ (или 1 см³ = $10^{-6}$ м³).

Выполним преобразование:

$\rho = 0,85 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 0,85 \frac{10^{-6} \text{ т}}{10^{-6} \text{ м}^3} = 0,85 \frac{\text{т}}{\text{м}^3}$.

Таким образом, плотность нефти составляет 0,85 тонн на кубический метр.

3. Расчет массы нефти

Масса вещества находится по формуле: $m = \rho \cdot V$.

Подставим известные значения объема цистерны и плотности нефти:

$m = 0,85 \frac{\text{т}}{\text{м}^3} \cdot 1782 \text{ м}^3 = 1514,7$ т.

Ответ: цистерна вмещает 1514,7 тонн нефти.

8. Дан конус высотой $H$ и радиусом основания $R$. Как изменится его объем, если:

a) вдвое увеличить его высоту и не изменять основание;

б) втрое увеличить радиус основания и не изменять высоты?

Объем конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$, где $R$ — радиус основания, а $H$ — высота конуса. Обозначим исходный объем конуса как $V_1$.

а) вдвое увеличить его высоту и не изменять основание;
Исходный объем: $V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.
По условию, новую высоту $H_2$ увеличили вдвое по сравнению с исходной $H$, то есть $H_2 = 2H$. Радиус основания $R$ остался без изменений.
Новый объем $V_2$ будет равен:
$V_2 = \frac{1}{3} \pi R^2 H_2 = \frac{1}{3} \pi R^2 (2H) = 2 \cdot (\frac{1}{3} \pi R^2 H)$
Сравнивая новый объем с исходным, получаем:
$V_2 = 2V_1$
Это означает, что объем конуса увеличится в 2 раза.
Ответ: объем увеличится в 2 раза.

б) втрое увеличить радиус основания и не изменять высоты?
Исходный объем: $V_1 = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.
По условию, новый радиус основания $R_2$ увеличили втрое по сравнению с исходным $R$, то есть $R_2 = 3R$. Высота $H$ осталась без изменений.
Новый объем $V_2$ будет равен:
$V_2 = \frac{1}{3} \pi R_2^2 H = \frac{1}{3} \pi (3R)^2 H = \frac{1}{3} \pi (9R^2) H = 9 \cdot (\frac{1}{3} \pi R^2 H)$
Сравнивая новый объем с исходным, получаем:
$V_2 = 9V_1$
Это означает, что объем конуса увеличится в 9 раз, так как радиус в формуле объема находится в квадрате ($3^2=9$).
Ответ: объем увеличится в 9 раз.

9. Прямоугольник со сторонами 4 и 6 вращают сначала вокруг одной стороны, а затем вокруг другой. Найдите объемы получившихся цилиндров и сравните их.

Задача состоит в том, чтобы найти и сравнить объемы двух цилиндров, образованных вращением прямоугольника со сторонами 4 и 6 вокруг каждой из этих сторон.

Формула для вычисления объема цилиндра: $V = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

Вращение вокруг стороны длиной 6

В первом случае прямоугольник вращается вокруг стороны, длина которой равна 6. Эта сторона становится осью вращения и, следовательно, высотой цилиндра. Другая сторона, длиной 4, при вращении образует круглое основание. Ее длина становится радиусом основания.

Таким образом, для первого цилиндра имеем:

• Высота $h_1 = 6$
• Радиус основания $r_1 = 4$

Подставим эти значения в формулу объема:

$V_1 = \pi \cdot r_1^2 \cdot h_1 = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = \pi \cdot 16 \cdot 6 = 96\pi$

Ответ: Объем первого цилиндра равен $96\pi$.

Вращение вокруг стороны длиной 4

Во втором случае прямоугольник вращается вокруг стороны, длина которой равна 4. Эта сторона становится высотой цилиндра, а другая сторона, длиной 6, — радиусом основания.

Таким образом, для второго цилиндра имеем:

• Высота $h_2 = 4$
• Радиус основания $r_2 = 6$

Подставим эти значения в формулу объема:

$V_2 = \pi \cdot r_2^2 \cdot h_2 = \pi \cdot 6^2 \cdot 4 = \pi \cdot 36 \cdot 4 = 144\pi$

Ответ: Объем второго цилиндра равен $144\pi$.

Сравнение объемов

Теперь сравним полученные объемы: $V_1 = 96\pi$ и $V_2 = 144\pi$.

Так как $144 > 96$, то $V_2 > V_1$. Объем второго цилиндра больше объема первого.

Найдем их отношение, чтобы понять, во сколько раз они отличаются:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{144\pi}{96\pi} = \frac{144}{96}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 144 и 96 равен 48.

$\frac{144 \div 48}{96 \div 48} = \frac{3}{2} = 1.5$

Это означает, что объем второго цилиндра (полученного вращением вокруг более короткой стороны) в 1.5 раза больше объема первого цилиндра (полученного вращением вокруг более длинной стороны).

Ответ: Объемы полученных цилиндров равны $96\pi$ и $144\pi$. Цилиндр, полученный вращением вокруг стороны длиной 4, имеет больший объем. Его объем в 1.5 раза больше объема цилиндра, полученного вращением вокруг стороны длиной 6.

10. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 вращают вокруг гипотенузы. Найдите объем полученной фигуры вращения.

Фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, представляет собой два конуса с общим основанием.

Радиусом $R$ этого общего основания является высота $h$, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Высоты этих двух конусов — это отрезки $h_1$ и $h_2$, на которые высота $h$ делит гипотенузу $c$. Объем всей фигуры равен сумме объемов двух конусов.

1. Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора. Катеты равны $a=3$ и $b=4$.
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Найдем высоту $h$, опущенную на гипотенузу. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
$S = \frac{1}{2}ab$ и $S = \frac{1}{2}ch$.
Приравняем правые части: $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$, откуда $h = \frac{ab}{c}$.
Подставим известные значения:
$h = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$.
Эта высота является радиусом $R$ общего основания конусов, то есть $R = 2.4$.

3. Вычислим объем фигуры вращения. Объем конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Общий объем $V$ равен сумме объемов двух конусов:
$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_1 + h_2)$.
Так как $h_1 + h_2 = c$, формула для объема фигуры вращения имеет вид:
$V = \frac{1}{3}\pi R^2 c$.

4. Подставим найденные значения $R=2.4$ и $c=5$ в формулу:
$V = \frac{1}{3}\pi (2.4)^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 5.76 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 28.8 = 9.6\pi$.
Можно также использовать обыкновенные дроби:
$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{12}{5}\right)^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{144}{25} \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{144}{5} = \frac{48\pi}{5} = 9.6\pi$.

Ответ: $9.6\pi$.

11. Пусть $V$, $R$ и $H$ – объем, радиус и высота цилиндра. Найдите:

а) $V$, если $R=2\sqrt{2}$ см, $H=3$ см;

б) $R$, если $V=120$ см$^3$, $H=3,6$ см;

в) $H$, если $R=H$, $V=8\pi$ см$^3$.

а) Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $V$ — объем, $R$ — радиус основания, а $H$ — высота.Подставим данные значения $R = 2\sqrt{2}$ см и $H = 3$ см в формулу:$V = \pi \cdot (2\sqrt{2})^2 \cdot 3$Сначала возведем радиус в квадрат:$(2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$ см².Теперь вычислим объем:$V = \pi \cdot 8 \cdot 3 = 24\pi$ см³.Ответ: $V = 24\pi$ см³.

б) Используем ту же формулу для объема цилиндра $V = \pi R^2 H$. Нам нужно найти радиус $R$, зная объем $V = 120$ см³ и высоту $H = 3,6$ см.Выразим $R^2$ из формулы:$R^2 = \frac{V}{\pi H}$Подставим известные значения:$R^2 = \frac{120}{\pi \cdot 3,6} = \frac{1200}{36\pi} = \frac{100}{3\pi}$Теперь найдем радиус, извлекая квадратный корень:$R = \sqrt{\frac{100}{3\pi}} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3\pi}} = \frac{10}{\sqrt{3\pi}}$ см.Ответ: $R = \frac{10}{\sqrt{3\pi}}$ см.

в) Снова используем формулу объема $V = \pi R^2 H$. По условию, радиус равен высоте ($R = H$) и объем $V = 8\pi$ см³.Подставим $R = H$ в формулу объема:$V = \pi H^2 \cdot H = \pi H^3$Теперь подставим известное значение объема:$8\pi = \pi H^3$Разделим обе части уравнения на $\pi$:$H^3 = 8$Чтобы найти $H$, извлечем кубический корень из 8:$H = \sqrt[3]{8} = 2$ см.Так как по условию $R = H$, то радиус $R$ также равен 2 см. В задаче требуется найти $H$.Ответ: $H = 2$ см.

12. Какое количество нефти (в тоннах) вмещает цилиндрическая цистерна диаметром 18 м и высотой 7 м, если плотность нефти равна $0,85 \text{ г/см}^3$?

Для того чтобы определить, какое количество нефти вмещает цистерна, необходимо сначала вычислить её объем, а затем, используя значение плотности, найти массу нефти.

1. Вычисление объема цистерны.

Цистерна имеет форму цилиндра. Объем цилиндра ($V$) вычисляется по формуле:

$V = \pi R^2 h$

где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

По условию задачи, диаметр цистерны $d = 18$ м. Радиус составляет половину диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{18 \text{ м}}{2} = 9 \text{ м}$.

Высота цистерны $h = 7$ м.

Подставим значения в формулу. Для удобства расчетов примем число $\pi$ равным $\frac{22}{7}$:

$V \approx \frac{22}{7} \cdot (9 \text{ м})^2 \cdot 7 \text{ м} = 22 \cdot 81 \text{ м}^2 = 1782 \text{ м}^3$.

2. Преобразование единиц плотности.

Плотность нефти дана в г/см³: $\rho = 0,85$ г/см³. Для расчета массы в тоннах нам необходимо перевести плотность в т/м³.

Соотношения единиц:

1 т = 1000 кг = 1 000 000 г

1 м³ = (100 см)³ = 1 000 000 см³

Следовательно, переводя г/см³ в т/м³, получаем:

$\rho = 0,85 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 0,85 \frac{1/1000000 \text{ т}}{1/1000000 \text{ м}^3} = 0,85 \frac{\text{т}}{\text{м}^3}$.

3. Вычисление массы нефти.

Масса ($m$) вычисляется как произведение объема ($V$) на плотность ($\rho$):

$m = V \cdot \rho$

Подставим полученные значения:

$m = 1782 \text{ м}^3 \cdot 0,85 \frac{\text{т}}{\text{м}^3} = 1514,7 \text{ т}$.

Ответ: 1514,7 т.

диаметром $16 \text{ м}$ и высотой $7 \text{ м}$, если плотность нефти равна $0,85 \text{ г/см}$?

13. Пусть $H$, $R$ и $V$ — соответственно высота, радиус основания и объем конуса.

Найдите:

а) $V$, если $H = 3 \text{ см}$, $R = 1,5 \text{ см}$;

б) $H$, если $R = 4 \text{ см}$, $V = 48 \pi \text{ см}^3$;

в) $R$, если $H = m$, $V = p$.

а) Для нахождения объема конуса $V$ воспользуемся формулой, связывающей объем с высотой $H$ и радиусом основания $R$:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

По условию задачи даны значения: $H = 3$ см и $R = 1,5$ см. Подставим их в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi (1,5)^2 \cdot 3$

Сократив множитель $3$ в числителе и знаменателе, получаем:

$V = \pi \cdot (1,5)^2 = \pi \cdot 2,25 = 2,25\pi \text{ см}^3$

Ответ: $2,25\pi$ см$^3$.

б) Для нахождения высоты конуса $H$ воспользуемся той же формулой объема, выразив из нее $H$:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \implies 3V = \pi R^2 H \implies H = \frac{3V}{\pi R^2}$

По условию задачи даны значения: $R = 4$ см и $V = 48\pi$ см$^3$. Подставим их в полученное выражение для высоты:

$H = \frac{3 \cdot 48\pi}{\pi \cdot 4^2} = \frac{3 \cdot 48\pi}{\pi \cdot 16}$

Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе, а также $48$ и $16$ ($48/16=3$):

$H = 3 \cdot 3 = 9 \text{ см}$

Ответ: $9$ см.

в) Для нахождения радиуса основания конуса $R$ снова воспользуемся формулой объема и выразим из нее $R$:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \implies 3V = \pi R^2 H \implies R^2 = \frac{3V}{\pi H}$

Так как радиус должен быть положительной величиной, извлекаем квадратный корень:

$R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}$

По условию задачи даны значения: $H = m$ и $V = p$. Подставим их в формулу для радиуса:

$R = \sqrt{\frac{3p}{\pi m}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{3p}{\pi m}}$.

14. Высота конуса равна 12 см, а его объем – $324\pi$ см³. Найдите радиус основания конуса.

Для решения этой задачи используется формула для вычисления объема конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

где $V$ – объем конуса, $r$ – радиус основания, а $h$ – высота конуса.

В условии задачи даны следующие значения:

Высота $h = 12$ см.

Объем $V = 324\pi$ см³.

Наша цель — найти радиус основания $r$.

Подставим известные значения в формулу объема:

$324\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 12$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $r$. Сначала упростим правую часть уравнения:

$324\pi = (\frac{12}{3}) \pi r^2$

$324\pi = 4 \pi r^2$

Чтобы найти $r^2$, разделим обе части уравнения на $4\pi$:

$r^2 = \frac{324\pi}{4\pi}$

Сокращаем $\pi$ в числителе и знаменателе:

$r^2 = \frac{324}{4}$

$r^2 = 81$

Чтобы найти радиус $r$, извлечем квадратный корень из 81. Так как радиус – это длина, он должен быть положительным числом.

$r = \sqrt{81}$

$r = 9$

Таким образом, радиус основания конуса составляет 9 см.

Ответ: 9 см.

15. Найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения – 60 см2.

Пусть $l$ — образующая конуса, $h$ — его высота, а $r$ — радиус основания. Из условия задачи нам известно, что образующая $l = 13$ см, а площадь осевого сечения равна $60$ см².

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2r$), боковые стороны равны образующей ($l$), а высота равна высоте конуса ($h$). Площадь этого треугольника вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h$

Используя данные из условия, мы получаем первое уравнение: $r \cdot h = 60$

Высота $h$, радиус $r$ и образующая $l$ конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора: $r^2 + h^2 = l^2$

Подставив известное значение $l=13$, получаем второе уравнение: $r^2 + h^2 = 13^2$ $r^2 + h^2 = 169$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: 1. $r \cdot h = 60$ 2. $r^2 + h^2 = 169$

Для решения системы выразим $h$ из первого уравнения: $h = \frac{60}{r}$. Теперь подставим это выражение во второе уравнение: $r^2 + \left(\frac{60}{r}\right)^2 = 169$ $r^2 + \frac{3600}{r^2} = 169$

Умножим все члены уравнения на $r^2$ (поскольку радиус не может быть равен нулю), чтобы избавиться от дроби: $r^4 + 3600 = 169r^2$ Перенесем все в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение: $r^4 - 169r^2 + 3600 = 0$

Введем замену переменной: пусть $x = r^2$. Тогда уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения: $x^2 - 169x + 3600 = 0$ Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-169)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3600 = 28561 - 14400 = 14161$ $\sqrt{D} = \sqrt{14161} = 119$ Корни уравнения для $x$: $x_1 = \frac{169 + 119}{2} = \frac{288}{2} = 144$ $x_2 = \frac{169 - 119}{2} = \frac{50}{2} = 25$

Поскольку $x = r^2$, мы получаем два возможных значения для квадрата радиуса, а значит, и два возможных набора параметров для конуса.

Случай 1. Если $r^2 = 144$, то радиус $r = \sqrt{144} = 12$ см. Тогда соответствующая высота $h = \frac{60}{r} = \frac{60}{12} = 5$ см.

Случай 2. Если $r^2 = 25$, то радиус $r = \sqrt{25} = 5$ см. Тогда соответствующая высота $h = \frac{60}{r} = \frac{60}{5} = 12$ см.

Оба варианта удовлетворяют условиям задачи. Теперь найдем объем конуса для каждого из двух случаев. Формула для объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Для первого случая ($r = 12$ см, $h = 5$ см): $V_1 = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 5 = 48 \cdot 5 \pi = 240\pi$ см³

Для второго случая ($r = 5$ см, $h = 12$ см): $V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 25 \cdot 4 \pi = 100\pi$ см³

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: объем конуса может быть равен $240\pi$ см³ или $100\pi$ см³.

16. Сколько воды вмещается в сосуд, имеющий форму усеченного конуса, диаметры оснований которого 0,8 и 1,9 м, а высота 1 м ?

Чтобы определить, сколько воды вмещается в сосуд, необходимо найти его объём. Сосуд имеет форму усеченного конуса. Объём усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

где $V$ – объём, $h$ – высота, $R$ и $r$ – радиусы большего и меньшего оснований соответственно.

По условию задачи даны следующие параметры:

Диаметр большего основания: $D = 1,9$ м.

Диаметр меньшего основания: $d = 0,8$ м.

Высота: $h = 1$ м.

Сначала найдём радиусы оснований, разделив диаметры на 2:

Радиус большего основания: $R = \frac{D}{2} = \frac{1,9}{2} = 0,95$ м.

Радиус меньшего основания: $r = \frac{d}{2} = \frac{0,8}{2} = 0,4$ м.

Теперь подставим известные значения в формулу для объёма:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 1 \cdot (0,95^2 + 0,95 \cdot 0,4 + 0,4^2)$

Выполним вычисления в скобках:

$0,95^2 + 0,95 \cdot 0,4 + 0,4^2 = 0,9025 + 0,38 + 0,16 = 1,4425$

Подставим полученное значение обратно в формулу объёма и вычислим его, используя $\pi \approx 3,14159$ и округляя результат до сотых:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 1,4425 \approx \frac{3,14159 \cdot 1,4425}{3} \approx 1,51$ м$^3$.

Ответ: в сосуд вмещается приблизительно $1,51$ м$^3$ воды.

17. Вычислите плотность детали, имеющей форму усеченного конуса, если ее масса равна 977 г, диаметры оснований 12 и 15 см, а длина образующей 6 см.

Для вычисления плотности детали ($\rho$) воспользуемся формулой:

$\rho = \frac{m}{V}$

где $m$ - масса детали, а $V$ - ее объем. Масса нам известна: $m = 977$ г. Нам необходимо найти объем.

Деталь имеет форму усеченного конуса. Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

где $h$ - высота конуса, $R$ и $r$ - радиусы его оснований.

Найдем радиусы оснований из заданных диаметров:

Радиус большего основания: $R = \frac{d_2}{2} = \frac{15 \text{ см}}{2} = 7.5$ см.

Радиус меньшего основания: $r = \frac{d_1}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6$ см.

Высота конуса $h$ не дана напрямую, но мы можем найти ее, используя длину образующей $l = 6$ см. Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию. Высота $h$, образующая $l$ и разность радиусов $R-r$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Отсюда выразим и вычислим высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2}$

$R - r = 7.5 \text{ см} - 6 \text{ см} = 1.5$ см.

$h = \sqrt{6^2 - 1.5^2} = \sqrt{36 - 2.25} = \sqrt{33.75}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

$V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{33.75} (7.5^2 + 7.5 \cdot 6 + 6^2)$

$V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{33.75} (56.25 + 45 + 36)$

$V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{33.75} (137.25)$

Для дальнейших расчетов найдем приближенные значения, используя $\pi \approx 3.14159$ и $\sqrt{33.75} \approx 5.8095$:

$V \approx \frac{1}{3} \cdot 3.14159 \cdot 5.8095 \cdot 137.25 \approx 835.25$ см$^3$.

Наконец, вычислим плотность детали, округляя результат до сотых:

$\rho = \frac{m}{V} \approx \frac{977 \text{ г}}{835.25 \text{ см}^3} \approx 1.17$ г/см$^3$.

Ответ: $\approx 1.17$ г/см$^3$.