Номер 10, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

10. Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 вращают вокруг гипотенузы. Найдите объем полученной фигуры вращения.

Фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, представляет собой два конуса с общим основанием.

Радиусом $R$ этого общего основания является высота $h$, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу. Высоты этих двух конусов — это отрезки $h_1$ и $h_2$, на которые высота $h$ делит гипотенузу $c$. Объем всей фигуры равен сумме объемов двух конусов.

1. Найдем длину гипотенузы $c$ по теореме Пифагора. Катеты равны $a=3$ и $b=4$.
$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Найдем высоту $h$, опущенную на гипотенузу. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:
$S = \frac{1}{2}ab$ и $S = \frac{1}{2}ch$.
Приравняем правые части: $\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$, откуда $h = \frac{ab}{c}$.
Подставим известные значения:
$h = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$.
Эта высота является радиусом $R$ общего основания конусов, то есть $R = 2.4$.

3. Вычислим объем фигуры вращения. Объем конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Общий объем $V$ равен сумме объемов двух конусов:
$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi R^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi R^2 (h_1 + h_2)$.
Так как $h_1 + h_2 = c$, формула для объема фигуры вращения имеет вид:
$V = \frac{1}{3}\pi R^2 c$.

4. Подставим найденные значения $R=2.4$ и $c=5$ в формулу:
$V = \frac{1}{3}\pi (2.4)^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 5.76 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 28.8 = 9.6\pi$.
Можно также использовать обыкновенные дроби:
$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{12}{5}\right)^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{144}{25} \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{144}{5} = \frac{48\pi}{5} = 9.6\pi$.

Ответ: $9.6\pi$.