Номер 15, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

15. Найдите объем конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения – 60 см2.

Пусть $l$ — образующая конуса, $h$ — его высота, а $r$ — радиус основания. Из условия задачи нам известно, что образующая $l = 13$ см, а площадь осевого сечения равна $60$ см².

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2r$), боковые стороны равны образующей ($l$), а высота равна высоте конуса ($h$). Площадь этого треугольника вычисляется по формуле: $S_{сеч} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = r \cdot h$

Используя данные из условия, мы получаем первое уравнение: $r \cdot h = 60$

Высота $h$, радиус $r$ и образующая $l$ конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора: $r^2 + h^2 = l^2$

Подставив известное значение $l=13$, получаем второе уравнение: $r^2 + h^2 = 13^2$ $r^2 + h^2 = 169$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными: 1. $r \cdot h = 60$ 2. $r^2 + h^2 = 169$

Для решения системы выразим $h$ из первого уравнения: $h = \frac{60}{r}$. Теперь подставим это выражение во второе уравнение: $r^2 + \left(\frac{60}{r}\right)^2 = 169$ $r^2 + \frac{3600}{r^2} = 169$

Умножим все члены уравнения на $r^2$ (поскольку радиус не может быть равен нулю), чтобы избавиться от дроби: $r^4 + 3600 = 169r^2$ Перенесем все в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение: $r^4 - 169r^2 + 3600 = 0$

Введем замену переменной: пусть $x = r^2$. Тогда уравнение принимает вид стандартного квадратного уравнения: $x^2 - 169x + 3600 = 0$ Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-169)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3600 = 28561 - 14400 = 14161$ $\sqrt{D} = \sqrt{14161} = 119$ Корни уравнения для $x$: $x_1 = \frac{169 + 119}{2} = \frac{288}{2} = 144$ $x_2 = \frac{169 - 119}{2} = \frac{50}{2} = 25$

Поскольку $x = r^2$, мы получаем два возможных значения для квадрата радиуса, а значит, и два возможных набора параметров для конуса.

Случай 1. Если $r^2 = 144$, то радиус $r = \sqrt{144} = 12$ см. Тогда соответствующая высота $h = \frac{60}{r} = \frac{60}{12} = 5$ см.

Случай 2. Если $r^2 = 25$, то радиус $r = \sqrt{25} = 5$ см. Тогда соответствующая высота $h = \frac{60}{r} = \frac{60}{5} = 12$ см.

Оба варианта удовлетворяют условиям задачи. Теперь найдем объем конуса для каждого из двух случаев. Формула для объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Для первого случая ($r = 12$ см, $h = 5$ см): $V_1 = \frac{1}{3}\pi \cdot 12^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \cdot 5 = 48 \cdot 5 \pi = 240\pi$ см³

Для второго случая ($r = 5$ см, $h = 12$ см): $V_2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 25 \cdot 4 \pi = 100\pi$ см³

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: объем конуса может быть равен $240\pi$ см³ или $100\pi$ см³.