Номер 13, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

диаметром $16 \text{ м}$ и высотой $7 \text{ м}$, если плотность нефти равна $0,85 \text{ г/см}$?

13. Пусть $H$, $R$ и $V$ — соответственно высота, радиус основания и объем конуса.

Найдите:

а) $V$, если $H = 3 \text{ см}$, $R = 1,5 \text{ см}$;

б) $H$, если $R = 4 \text{ см}$, $V = 48 \pi \text{ см}^3$;

в) $R$, если $H = m$, $V = p$.

а) Для нахождения объема конуса $V$ воспользуемся формулой, связывающей объем с высотой $H$ и радиусом основания $R$:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$

По условию задачи даны значения: $H = 3$ см и $R = 1,5$ см. Подставим их в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi (1,5)^2 \cdot 3$

Сократив множитель $3$ в числителе и знаменателе, получаем:

$V = \pi \cdot (1,5)^2 = \pi \cdot 2,25 = 2,25\pi \text{ см}^3$

Ответ: $2,25\pi$ см$^3$.

б) Для нахождения высоты конуса $H$ воспользуемся той же формулой объема, выразив из нее $H$:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \implies 3V = \pi R^2 H \implies H = \frac{3V}{\pi R^2}$

По условию задачи даны значения: $R = 4$ см и $V = 48\pi$ см$^3$. Подставим их в полученное выражение для высоты:

$H = \frac{3 \cdot 48\pi}{\pi \cdot 4^2} = \frac{3 \cdot 48\pi}{\pi \cdot 16}$

Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе, а также $48$ и $16$ ($48/16=3$):

$H = 3 \cdot 3 = 9 \text{ см}$

Ответ: $9$ см.

в) Для нахождения радиуса основания конуса $R$ снова воспользуемся формулой объема и выразим из нее $R$:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \implies 3V = \pi R^2 H \implies R^2 = \frac{3V}{\pi H}$

Так как радиус должен быть положительной величиной, извлекаем квадратный корень:

$R = \sqrt{\frac{3V}{\pi H}}$

По условию задачи даны значения: $H = m$ и $V = p$. Подставим их в формулу для радиуса:

$R = \sqrt{\frac{3p}{\pi m}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{3p}{\pi m}}$.