Номер 6, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

6. Алюминиевый провод диаметром 4 мм имеет массу 6,8 кг. Найдите длину провода (плотность алюминия $2,6 \text{ г/см}^3$).

Для решения задачи необходимо найти длину провода, который имеет форму цилиндра. Мы можем найти его длину, зная массу, плотность и диаметр.

1. Подготовка данных и перевод единиц

В первую очередь, необходимо привести все величины к единой системе измерений. Поскольку плотность дана в г/см³, переведем массу в граммы (г) и диаметр в сантиметры (см).

Масса: $m = 6,8 \text{ кг} = 6,8 \times 1000 \text{ г} = 6800 \text{ г}$.

Диаметр: $d = 4 \text{ мм} = 0,4 \text{ см}$.

Плотность: $\rho = 2,6 \text{ г/см³}$.

2. Определение формул

Масса тела ($m$) связана с его плотностью ($\rho$) и объемом ($V$) следующей формулой:

$m = \rho \cdot V$

Объем провода, имеющего форму цилиндра, вычисляется по формуле:

$V = S \cdot L$

где $S$ — площадь поперечного сечения, а $L$ — длина провода.

Поперечное сечение провода представляет собой круг. Его площадь $S$ вычисляется через диаметр $d$ по формуле:

$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$

3. Расчет длины провода

Объединим формулы, чтобы выразить длину $L$ через известные величины. Подставим выражение для объема $V$ в формулу массы:

$m = \rho \cdot S \cdot L$

Теперь подставим формулу для площади сечения $S$:

$m = \rho \cdot \left(\frac{\pi d^2}{4}\right) \cdot L$

Из этого уравнения выразим искомую длину $L$:

$L = \frac{4m}{\rho \pi d^2}$

Подставим наши числовые значения в эту формулу:

$L = \frac{4 \cdot 6800 \text{ г}}{2,6 \text{ г/см³} \cdot \pi \cdot (0,4 \text{ см})^2} = \frac{27200}{2,6 \cdot \pi \cdot 0,16} \text{ см} = \frac{27200}{0,416 \pi} \text{ см}$

Выполним вычисления (используя $\pi \approx 3,14159$):

$L \approx \frac{27200}{0,416 \cdot 3,14159} \approx \frac{27200}{1,3069} \approx 20812,5 \text{ см}$

4. Перевод результата в метры

Полученную длину в сантиметрах переведем в метры, зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

$L = 20812,5 \text{ см} = \frac{20812,5}{100} \text{ м} = 208,125 \text{ м}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: $208,13$ м.