Номер 4, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

4. Площадь основания цилиндра равна $S_0$, а площадь его боковой поверхности – $S$. Найдите объем цилиндра.

Пусть $R$ — радиус основания цилиндра, а $H$ — его высота.

Объем цилиндра $V$ определяется как произведение площади основания на высоту:
$V = S_{основания} \cdot H$

По условию задачи, площадь основания $S_{основания}$ равна $S_0$. Таким образом, формула для объема принимает вид:
$V = S_0 \cdot H$

Чтобы найти объем, нам необходимо выразить высоту $H$ через заданные величины $S_0$ и $S$.

Площадь основания цилиндра — это площадь круга, которая вычисляется по формуле:
$S_0 = \pi R^2$

Из этой формулы мы можем выразить радиус основания $R$:
$R = \sqrt{\frac{S_0}{\pi}}$

Площадь боковой поверхности цилиндра $S$ вычисляется по формуле:
$S = 2 \pi R H$

Выразим высоту $H$ из формулы для площади боковой поверхности:
$H = \frac{S}{2 \pi R}$

Теперь подставим ранее найденное выражение для радиуса $R$ в формулу для высоты $H$:
$H = \frac{S}{2 \pi \sqrt{\frac{S_0}{\pi}}}$

Упростим это выражение. Внесем $2\pi$ под знак корня в знаменателе:
$H = \frac{S}{\sqrt{ (2\pi)^2 \cdot \frac{S_0}{\pi} }} = \frac{S}{\sqrt{ 4\pi^2 \cdot \frac{S_0}{\pi} }} = \frac{S}{\sqrt{ 4\pi S_0 }}$

Теперь, когда у нас есть выражение для высоты $H$ через $S$ и $S_0$, мы можем найти объем $V$, подставив его в формулу $V = S_0 \cdot H$:
$V = S_0 \cdot \frac{S}{\sqrt{4\pi S_0}} = S_0 \cdot \frac{S}{2\sqrt{\pi S_0}}$

Упростим полученное выражение для объема, зная, что $S_0 = (\sqrt{S_0})^2$:
$V = \frac{S_0 S}{2\sqrt{\pi}\sqrt{S_0}} = \frac{\sqrt{S_0} S}{2\sqrt{\pi}} = \frac{S}{2}\sqrt{\frac{S_0}{\pi}}$

Ответ: $V = \frac{S \sqrt{S_0}}{2 \sqrt{\pi}}$