Номер 12, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

12. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник со сторонами 17 м, 17 м и 16 м. Все боковые ребра равны 20 м. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды используется формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Решение задачи сводится к последовательному нахождению площади основания и высоты пирамиды.

1. Найдем площадь основания пирамиды ($S_{осн}$).

Основанием является равнобедренный треугольник со сторонами 17 м, 17 м и 16 м. Для нахождения его площади, сначала найдем высоту этого треугольника, проведенную к основанию длиной 16 м. В равнобедренном треугольнике эта высота является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по $16 / 2 = 8$ м.

Получаем два прямоугольных треугольника с гипотенузой 17 м и одним из катетов 8 м. Второй катет — это высота треугольника ($h_{осн}$). Найдем ее по теореме Пифагора:

$h_{осн} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ м.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120$ м$^2$.

2. Найдем высоту пирамиды ($H$).

По условию, все боковые ребра пирамиды равны (20 м). Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Расстояние от этого центра до любой вершины основания равно радиусу описанной окружности ($R$).

Высота пирамиды ($H$), боковое ребро ($L=20$ м) и радиус описанной окружности ($R$) образуют прямоугольный треугольник, в котором $L$ — гипотенуза, а $H$ и $R$ — катеты. Таким образом, $H^2 + R^2 = L^2$.

Сначала найдем радиус $R$ описанной окружности для треугольника в основании по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

$R = \frac{17 \cdot 17 \cdot 16}{4 \cdot 120} = \frac{289 \cdot 16}{480} = \frac{289}{30}$ м.

Теперь найдем высоту пирамиды $H$:

$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{20^2 - (\frac{289}{30})^2} = \sqrt{400 - \frac{83521}{900}}$

$H = \sqrt{\frac{400 \cdot 900 - 83521}{900}} = \sqrt{\frac{360000 - 83521}{900}} = \sqrt{\frac{276479}{900}} = \frac{\sqrt{276479}}{30}$ м.

3. Найдем объем пирамиды ($V$).

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 120 \cdot \frac{\sqrt{276479}}{30}$

$V = 40 \cdot \frac{\sqrt{276479}}{30} = \frac{4 \cdot \sqrt{276479}}{3}$ м$^3$.

Ответ: $V = \frac{4\sqrt{276479}}{3}$ м$^3$.