Номер 6, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

6. Найдите объем прямой призмы $ABC A_1B_1C_1$, если $\angle ACB = 30^\circ$, $BC = 7$ см, $AC = 4$ см и наибольшая из площадей боковых граней $28$ см$^2$.

Для нахождения объема прямой призмы используется формула $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

1. Нахождение площади основания

Основанием призмы является треугольник $ABC$. Площадь треугольника можно вычислить по формуле, зная две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.

По условию задачи даны стороны $AC = 4$ см, $BC = 7$ см и угол между ними $\angle ACB = 30^\circ$.

Подставим эти значения в формулу площади треугольника:

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB)$

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 7$ см$^2$.

2. Нахождение высоты призмы

Призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой, следовательно, ее боковые грани — это прямоугольники. Высота призмы $h$ равна длине бокового ребра (например, $AA_1$). Площадь боковой грани равна произведению стороны основания на высоту призмы. Таким образом, площади боковых граней равны $AC \cdot h$, $BC \cdot h$ и $AB \cdot h$.

Наибольшая по площади боковая грань соответствует наибольшей стороне основания. Нам нужно сравнить длины сторон $AC$, $BC$ и $AB$. Известно, что $AC = 4$ см и $BC = 7$ см. Найдем длину стороны $AB$ по теореме косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$

Подставим значения, учитывая, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$AB^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 + 49 - 56 \frac{\sqrt{3}}{2} = 65 - 28\sqrt{3}$.

Теперь сравним квадраты длин сторон $AC^2=16$, $BC^2=49$ и $AB^2=65 - 28\sqrt{3}$.

Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, тогда $28\sqrt{3} \approx 48.496$.

$AB^2 \approx 65 - 48.496 = 16.504$.

Так как $16 < 16.504 < 49$, то $AC^2 < AB^2 < BC^2$. Следовательно, $AC < AB < BC$.

Наибольшая сторона основания — это $BC = 7$ см. Значит, наибольшая боковая грань имеет площадь $S_{max} = BC \cdot h$.

По условию $S_{max} = 28$ см$^2$.

$7 \cdot h = 28$

$h = \frac{28}{7} = 4$ см.

3. Нахождение объема призмы

Теперь мы можем вычислить объем призмы, зная площадь основания $S_{осн} = 7$ см$^2$ и высоту $h = 4$ см.

$V = S_{осн} \cdot h = 7 \cdot 4 = 28$ см$^3$.

Ответ: $28$ см$^3$.