Номер 11, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

11. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 18 м и 24 м; все боковые ребра равны 17 м. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды используется формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $a = 18$ м и $b = 24$ м. Его площадь равна:

$S_{осн} = a \cdot b = 18 \cdot 24 = 432$ м².

2. Найдем высоту пирамиды.

По условию, все боковые ребра пирамиды равны ($l = 17$ м). Это означает, что вершина пирамиды (S) проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей (O). Таким образом, высота пирамиды $H = SO$ перпендикулярна плоскости основания.

Высота $H$, боковое ребро $l$ и половина диагонали основания $R$ (радиус описанной окружности) образуют прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.

Сначала найдем диагональ $d$ прямоугольника, используя теорему Пифагора для треугольника $\triangle ABC$:

$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$ м.

Радиус $R$ описанной окружности равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15$ м.

Теперь можем найти высоту $H$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$:

$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ м.

3. Вычислим объем пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 8 = 144 \cdot 8 = 1152$ м³.

Ответ: объем пирамиды равен 1152 м³.