Номер 4, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

4. В прямой треугольной призме стороны оснований равны $13 \text{ см}$, $14 \text{ см}$ и $15 \text{ см}$, а боковое ребро равно меньшей высоте основания. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

В основании призмы лежит треугольник со сторонами $a = 13$ см, $b = 14$ см и $c = 15$ см. Для нахождения его площади $S_{осн}$ воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — это полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона для вычисления площади основания:

$S_{осн} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ см².

2. Найдем высоту призмы.

Согласно условию задачи, боковое ребро прямой призмы равно ее высоте $H$, а также равно меньшей высоте треугольника, лежащего в основании. В любом треугольнике меньшая высота проведена к его наибольшей стороне. В нашем случае наибольшая сторона равна 15 см.

Площадь треугольника можно также найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$. Выразим отсюда высоту:

$h = \frac{2S}{a}$.

Найдем высоту, проведенную к стороне 15 см, которая и будет высотой призмы $H$:

$H = \frac{2 \cdot S_{осн}}{15} = \frac{2 \cdot 84}{15} = \frac{168}{15} = 11,2$ см.

3. Найдем объем призмы.

Теперь, когда у нас есть и площадь основания, и высота призмы, мы можем вычислить ее объем:

$V = S_{осн} \cdot H = 84 \text{ см}² \cdot 11,2 \text{ см} = 940,8$ см³.

Ответ: $940,8$ см³.