Номер 1, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

1. Как по данной развертке правильной пирамиды определить ее объем?

Чтобы определить объем правильной пирамиды по ее развертке, необходимо выполнить последовательность шагов, направленных на нахождение площади ее основания и высоты. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $h$ — ее высота (перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания).

Развертка правильной пирамиды состоит из многоугольника-основания и нескольких равных равнобедренных треугольников — боковых граней. На примере развертки правильной четырехугольной пирамиды ниже показаны основные элементы, которые можно измерить:

Здесь a — сторона основания, l — боковое ребро пирамиды, k — апофема (или высота боковой грани).

Шаг 1: Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Основанием правильной пирамиды является правильный многоугольник.
1. Определите тип многоугольника в основании (например, квадрат, правильный треугольник, шестиугольник) и посчитайте количество его сторон n.
2. Измерьте на развертке длину стороны основания a.
3. Вычислите площадь основания. Общая формула для правильного n-угольника: $S_{осн} = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}$
Например:
• для квадрата (n=4): $S_{осн} = a^2$
• для правильного треугольника (n=3): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Шаг 2: Нахождение высоты пирамиды ($h$)

Высота h не дана на развертке напрямую, ее нужно вычислить. Для этого используются два прямоугольных треугольника внутри пирамиды, которые связывают высоту h с элементами, известными из развертки.

Способ А: через боковое ребро l и радиус описанной окружности основания R.
1. Измерьте на развертке длину бокового ребра l.
2. Вычислите радиус R окружности, описанной около многоугольника-основания. Формула: $R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$.
Например: для квадрата $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, для правильного треугольника $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
3. Найдите высоту по теореме Пифагора: $h = \sqrt{l^2 - R^2}$.

Способ Б: через апофему k и радиус вписанной окружности основания r.
1. Измерьте на развертке апофему k (высоту боковой грани).
2. Вычислите радиус r окружности, вписанной в многоугольник-основание. Формула: $r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$.
Например: для квадрата $r = \frac{a}{2}$, для правильного треугольника $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
3. Найдите высоту по теореме Пифагора: $h = \sqrt{k^2 - r^2}$.

Шаг 3: Вычисление объема ($V$)

Подставьте найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $h$ в исходную формулу:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

Ответ: Чтобы найти объем правильной пирамиды по ее развертке, нужно: 1) измерить сторону основания a и вычислить его площадь $S_{осн}$; 2) измерить боковое ребро l (или апофему k); 3) вычислить радиус описанной R (или вписанной r) окружности основания; 4) по теореме Пифагора найти высоту пирамиды $h$ (используя формулу $h = \sqrt{l^2 - R^2}$ или $h = \sqrt{k^2 - r^2}$); 5) вычислить объем по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.