Номер 3, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

3. Диагонали прямого параллелепипеда равны 8 м и 10 м, стороны основания 5 м и 3 м. Найдите его объем.

Объем прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота параллелепипеда.

Пусть стороны основания (которое является параллелограммом) равны $a = 5$ м и $b = 3$ м. Диагонали самого параллелепипеда равны $D_1 = 10$ м и $D_2 = 8$ м. Пусть $d_1$ и $d_2$ — диагонали основания, а $h$ — высота параллелепипеда.

1. Найдем высоту h.

В прямом параллелепипеде квадрат его диагонали равен сумме квадрата высоты и квадрата соответствующей диагонали основания. Это следует из теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных диагональю параллелепипеда, диагональю основания и боковым ребром (высотой).

Получаем систему из двух уравнений:

$D_1^2 = d_1^2 + h^2 \implies 10^2 = d_1^2 + h^2 \implies 100 = d_1^2 + h^2$

$D_2^2 = d_2^2 + h^2 \implies 8^2 = d_2^2 + h^2 \implies 64 = d_2^2 + h^2$

Для нахождения $h$ нам необходимо еще одно соотношение, связывающее диагонали основания $d_1$ и $d_2$ с его сторонами $a$ и $b$. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставив известные значения сторон $a=5$ и $b=3$:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(5^2 + 3^2) = 2(25 + 9) = 2(34) = 68$

Теперь мы имеем систему уравнений:

1) $d_1^2 + h^2 = 100$

2) $d_2^2 + h^2 = 64$

3) $d_1^2 + d_2^2 = 68$

Сложим первые два уравнения: $(d_1^2 + h^2) + (d_2^2 + h^2) = 100 + 64$, что дает $(d_1^2 + d_2^2) + 2h^2 = 164$.

Подставим в полученное выражение значение $d_1^2 + d_2^2$ из третьего уравнения:

$68 + 2h^2 = 164$

$2h^2 = 164 - 68$

$2h^2 = 96$

$h^2 = 48 \implies h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ м.

2. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

Для нахождения площади параллелограмма нам нужно знать либо угол между сторонами, либо длины его диагоналей. Найдем длины диагоналей основания, используя найденное значение $h^2=48$.

$d_1^2 = 100 - h^2 = 100 - 48 = 52$

$d_2^2 = 64 - h^2 = 64 - 48 = 16 \implies d_2 = \sqrt{16} = 4$ м.

Рассмотрим треугольник, образованный сторонами параллелограмма $a=5$, $b=3$ и его меньшей диагональю $d_2=4$. Стороны этого треугольника равны 3, 4 и 5. Такой треугольник является прямоугольным (египетский треугольник), так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Площадь этого треугольника равна половине произведения его катетов (сторон длиной 3 и 4):

$S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ м².

Диагональ делит параллелограмм на два таких равных треугольника. Следовательно, площадь основания:

$S_{осн} = 2 \cdot S_{треуг} = 2 \cdot 6 = 12$ м².

3. Найдем объем параллелепипеда V.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем:

$V = S_{осн} \cdot h = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ м³.

Ответ: $48\sqrt{3}$ м³.