Страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

1. Как по данной развертке правильной пирамиды определить ее объем?

Чтобы определить объем правильной пирамиды по ее развертке, необходимо выполнить последовательность шагов, направленных на нахождение площади ее основания и высоты. Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $h$ — ее высота (перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания).

Развертка правильной пирамиды состоит из многоугольника-основания и нескольких равных равнобедренных треугольников — боковых граней. На примере развертки правильной четырехугольной пирамиды ниже показаны основные элементы, которые можно измерить:

Здесь a — сторона основания, l — боковое ребро пирамиды, k — апофема (или высота боковой грани).

Шаг 1: Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Основанием правильной пирамиды является правильный многоугольник.
1. Определите тип многоугольника в основании (например, квадрат, правильный треугольник, шестиугольник) и посчитайте количество его сторон n.
2. Измерьте на развертке длину стороны основания a.
3. Вычислите площадь основания. Общая формула для правильного n-угольника: $S_{осн} = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan(\frac{\pi}{n})}$
Например:
• для квадрата (n=4): $S_{осн} = a^2$
• для правильного треугольника (n=3): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Шаг 2: Нахождение высоты пирамиды ($h$)

Высота h не дана на развертке напрямую, ее нужно вычислить. Для этого используются два прямоугольных треугольника внутри пирамиды, которые связывают высоту h с элементами, известными из развертки.

Способ А: через боковое ребро l и радиус описанной окружности основания R.
1. Измерьте на развертке длину бокового ребра l.
2. Вычислите радиус R окружности, описанной около многоугольника-основания. Формула: $R = \frac{a}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$.
Например: для квадрата $R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, для правильного треугольника $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
3. Найдите высоту по теореме Пифагора: $h = \sqrt{l^2 - R^2}$.

Способ Б: через апофему k и радиус вписанной окружности основания r.
1. Измерьте на развертке апофему k (высоту боковой грани).
2. Вычислите радиус r окружности, вписанной в многоугольник-основание. Формула: $r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})}$.
Например: для квадрата $r = \frac{a}{2}$, для правильного треугольника $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
3. Найдите высоту по теореме Пифагора: $h = \sqrt{k^2 - r^2}$.

Шаг 3: Вычисление объема ($V$)

Подставьте найденные значения площади основания $S_{осн}$ и высоты $h$ в исходную формулу:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

Ответ: Чтобы найти объем правильной пирамиды по ее развертке, нужно: 1) измерить сторону основания a и вычислить его площадь $S_{осн}$; 2) измерить боковое ребро l (или апофему k); 3) вычислить радиус описанной R (или вписанной r) окружности основания; 4) по теореме Пифагора найти высоту пирамиды $h$ (используя формулу $h = \sqrt{l^2 - R^2}$ или $h = \sqrt{k^2 - r^2}$); 5) вычислить объем по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.

2. Как изменится объем правильной пирамиды, если высота ее будет увеличена в $3n$ раз?

Объем пирамиды, в том числе и правильной, вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$где $S_{осн}$ – площадь основания пирамиды, а $h$ – ее высота.

Пусть исходный объем пирамиды равен $V_1$, а ее высота – $h_1$. Тогда объем можно записать как:$V_1 = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h_1$

По условию задачи, высота пирамиды увеличивается в $3n$ раз. Новая высота $h_2$ будет связана с исходной высотой $h_1$ соотношением:$h_2 = 3n \cdot h_1$

Площадь основания $S_{осн}$ при этом не изменяется. Новый объем пирамиды $V_2$ с новой высотой $h_2$ будет равен:$V_2 = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h_2 = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot (3n \cdot h_1)$

Чтобы найти, как изменился объем, найдем отношение нового объема $V_2$ к исходному объему $V_1$:$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{3} S_{осн} \cdot (3n \cdot h_1)}{\frac{1}{3} S_{осн} \cdot h_1}$

Сократив одинаковые множители ($\frac{1}{3}$, $S_{осн}$ и $h_1$) в числителе и знаменателе дроби, получим:$\frac{V_2}{V_1} = 3n$

Таким образом, объем пирамиды прямо пропорционален ее высоте. Если высота увеличивается в $3n$ раз, то и объем увеличивается в $3n$ раз.

Ответ: объем правильной пирамиды увеличится в $3n$ раз.

3. Диагонали прямого параллелепипеда равны 8 м и 10 м, стороны основания 5 м и 3 м. Найдите его объем.

Объем прямого параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота параллелепипеда.

Пусть стороны основания (которое является параллелограммом) равны $a = 5$ м и $b = 3$ м. Диагонали самого параллелепипеда равны $D_1 = 10$ м и $D_2 = 8$ м. Пусть $d_1$ и $d_2$ — диагонали основания, а $h$ — высота параллелепипеда.

1. Найдем высоту h.

В прямом параллелепипеде квадрат его диагонали равен сумме квадрата высоты и квадрата соответствующей диагонали основания. Это следует из теоремы Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных диагональю параллелепипеда, диагональю основания и боковым ребром (высотой).

Получаем систему из двух уравнений:

$D_1^2 = d_1^2 + h^2 \implies 10^2 = d_1^2 + h^2 \implies 100 = d_1^2 + h^2$

$D_2^2 = d_2^2 + h^2 \implies 8^2 = d_2^2 + h^2 \implies 64 = d_2^2 + h^2$

Для нахождения $h$ нам необходимо еще одно соотношение, связывающее диагонали основания $d_1$ и $d_2$ с его сторонами $a$ и $b$. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

Подставив известные значения сторон $a=5$ и $b=3$:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(5^2 + 3^2) = 2(25 + 9) = 2(34) = 68$

Теперь мы имеем систему уравнений:

1) $d_1^2 + h^2 = 100$

2) $d_2^2 + h^2 = 64$

3) $d_1^2 + d_2^2 = 68$

Сложим первые два уравнения: $(d_1^2 + h^2) + (d_2^2 + h^2) = 100 + 64$, что дает $(d_1^2 + d_2^2) + 2h^2 = 164$.

Подставим в полученное выражение значение $d_1^2 + d_2^2$ из третьего уравнения:

$68 + 2h^2 = 164$

$2h^2 = 164 - 68$

$2h^2 = 96$

$h^2 = 48 \implies h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ м.

2. Найдем площадь основания $S_{осн}$.

Для нахождения площади параллелограмма нам нужно знать либо угол между сторонами, либо длины его диагоналей. Найдем длины диагоналей основания, используя найденное значение $h^2=48$.

$d_1^2 = 100 - h^2 = 100 - 48 = 52$

$d_2^2 = 64 - h^2 = 64 - 48 = 16 \implies d_2 = \sqrt{16} = 4$ м.

Рассмотрим треугольник, образованный сторонами параллелограмма $a=5$, $b=3$ и его меньшей диагональю $d_2=4$. Стороны этого треугольника равны 3, 4 и 5. Такой треугольник является прямоугольным (египетский треугольник), так как $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Площадь этого треугольника равна половине произведения его катетов (сторон длиной 3 и 4):

$S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ м².

Диагональ делит параллелограмм на два таких равных треугольника. Следовательно, площадь основания:

$S_{осн} = 2 \cdot S_{треуг} = 2 \cdot 6 = 12$ м².

3. Найдем объем параллелепипеда V.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем:

$V = S_{осн} \cdot h = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ м³.

Ответ: $48\sqrt{3}$ м³.

4. В прямой треугольной призме стороны оснований равны $13 \text{ см}$, $14 \text{ см}$ и $15 \text{ см}$, а боковое ребро равно меньшей высоте основания. Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Найдем площадь основания.

В основании призмы лежит треугольник со сторонами $a = 13$ см, $b = 14$ см и $c = 15$ см. Для нахождения его площади $S_{осн}$ воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — это полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона для вычисления площади основания:

$S_{осн} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ см².

2. Найдем высоту призмы.

Согласно условию задачи, боковое ребро прямой призмы равно ее высоте $H$, а также равно меньшей высоте треугольника, лежащего в основании. В любом треугольнике меньшая высота проведена к его наибольшей стороне. В нашем случае наибольшая сторона равна 15 см.

Площадь треугольника можно также найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $a$. Выразим отсюда высоту:

$h = \frac{2S}{a}$.

Найдем высоту, проведенную к стороне 15 см, которая и будет высотой призмы $H$:

$H = \frac{2 \cdot S_{осн}}{15} = \frac{2 \cdot 84}{15} = \frac{168}{15} = 11,2$ см.

3. Найдем объем призмы.

Теперь, когда у нас есть и площадь основания, и высота призмы, мы можем вычислить ее объем:

$V = S_{осн} \cdot H = 84 \text{ см}² \cdot 11,2 \text{ см} = 940,8$ см³.

Ответ: $940,8$ см³.

5. Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции с нижним основанием 7 м, верхним – 12 м и высотой – 2 м. Найдите, сколько кубических метров земли приходится на 100 м насыпи.

Задача состоит в нахождении объёма земли для железнодорожной насыпи. Насыпь представляет собой прямую призму, основанием которой является трапеция. Чтобы найти объём, необходимо сначала вычислить площадь поперечного сечения (площадь трапеции), а затем умножить эту площадь на длину насыпи.

Даны параметры сечения-трапеции: основания равны $a = 7$ м и $b = 12$ м, а высота — $h = 2$ м. Длина насыпи составляет $L = 100$ м.

Примечание: В тексте задачи указано, что нижнее основание равно 7 м, а верхнее — 12 м. Для реальной насыпи характерна обратная конфигурация (широкое основание внизу) для обеспечения устойчивости. Однако, для вычисления площади трапеции не имеет значения, какое из оснований считать верхним, а какое нижним. На рисунке для наглядности изображена стандартная форма насыпи с более широким основанием внизу.

Сначала вычислим площадь поперечного сечения (трапеции). Формула для площади трапеции ($S$) с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$:
$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$
Подставим значения в формулу:
$S = \frac{7 \text{ м} + 12 \text{ м}}{2} \cdot 2 \text{ м} = \frac{19 \text{ м}}{2} \cdot 2 \text{ м} = 19 \text{ м²}$.

Теперь, зная площадь поперечного сечения, можно найти объём ($V$) всей насыпи длиной $L = 100$ м. Объём прямой призмы вычисляется по формуле:
$V = S \cdot L$
Подставим наши значения:
$V = 19 \text{ м²} \cdot 100 \text{ м} = 1900 \text{ м³}$.

Ответ: 1900 м³.

6. Найдите объем прямой призмы $ABC A_1B_1C_1$, если $\angle ACB = 30^\circ$, $BC = 7$ см, $AC = 4$ см и наибольшая из площадей боковых граней $28$ см$^2$.

Для нахождения объема прямой призмы используется формула $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания призмы, а $h$ — ее высота.

1. Нахождение площади основания

Основанием призмы является треугольник $ABC$. Площадь треугольника можно вычислить по формуле, зная две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.

По условию задачи даны стороны $AC = 4$ см, $BC = 7$ см и угол между ними $\angle ACB = 30^\circ$.

Подставим эти значения в формулу площади треугольника:

$S_{осн} = S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB)$

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = 7$ см$^2$.

2. Нахождение высоты призмы

Призма $ABCA_1B_1C_1$ является прямой, следовательно, ее боковые грани — это прямоугольники. Высота призмы $h$ равна длине бокового ребра (например, $AA_1$). Площадь боковой грани равна произведению стороны основания на высоту призмы. Таким образом, площади боковых граней равны $AC \cdot h$, $BC \cdot h$ и $AB \cdot h$.

Наибольшая по площади боковая грань соответствует наибольшей стороне основания. Нам нужно сравнить длины сторон $AC$, $BC$ и $AB$. Известно, что $AC = 4$ см и $BC = 7$ см. Найдем длину стороны $AB$ по теореме косинусов:

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)$

Подставим значения, учитывая, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$AB^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 16 + 49 - 56 \frac{\sqrt{3}}{2} = 65 - 28\sqrt{3}$.

Теперь сравним квадраты длин сторон $AC^2=16$, $BC^2=49$ и $AB^2=65 - 28\sqrt{3}$.

Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, тогда $28\sqrt{3} \approx 48.496$.

$AB^2 \approx 65 - 48.496 = 16.504$.

Так как $16 < 16.504 < 49$, то $AC^2 < AB^2 < BC^2$. Следовательно, $AC < AB < BC$.

Наибольшая сторона основания — это $BC = 7$ см. Значит, наибольшая боковая грань имеет площадь $S_{max} = BC \cdot h$.

По условию $S_{max} = 28$ см$^2$.

$7 \cdot h = 28$

$h = \frac{28}{7} = 4$ см.

3. Нахождение объема призмы

Теперь мы можем вычислить объем призмы, зная площадь основания $S_{осн} = 7$ см$^2$ и высоту $h = 4$ см.

$V = S_{осн} \cdot h = 7 \cdot 4 = 28$ см$^3$.

Ответ: $28$ см$^3$.

7. Найдите объем пирамиды, высота которой 8 см, а в основании — прямоугольник со сторонами 3 см и 7 см.

Для нахождения объема пирамиды используется формула:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$
где $V$ – объем пирамиды, $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота пирамиды.

По условию задачи нам даны:
- высота пирамиды $h = 8$ см;
- в основании лежит прямоугольник со сторонами $a = 3$ см и $b = 7$ см.

Визуальное представление пирамиды:

1. Первым шагом найдем площадь основания пирамиды ($S_{осн}$). Поскольку основание является прямоугольником, его площадь вычисляется как произведение длин его сторон:
$S_{осн} = a \cdot b$
Подставляем известные значения:
$S_{осн} = 3 \text{ см} \cdot 7 \text{ см} = 21 \text{ см}^2$

2. Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем вычислить объем пирамиды, подставив эти значения в основную формулу:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 21 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см}$
$V = 7 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 56 \text{ см}^3$

Ответ: $56 \text{ см}^3$.

8. Найдите объем пирамиды, высота которой 6 см, а в основании — прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см.

Для нахождения объема пирамиды используется формула $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.
Согласно условию задачи, высота пирамиды $h = 6$ см. Основанием является прямоугольный треугольник с катетами $a = 3$ см и $b = 4$ см.
1. Найдем площадь основания пирамиды ($S_{осн}$).
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$
Подставим значения катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = \frac{12}{2} = 6$ см².
2. Найдем объем пирамиды ($V$).
Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем вычислить объем.
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h$
Подставим известные значения в формулу:
$V = \frac{1}{3} \cdot 6 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 2 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 12$ см³.
Ответ: $12$ см³.

9. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой $h$, а диагональ основания $d$.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды воспользуемся формулой:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$

где $V$ — объем пирамиды, $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

По условию, высота пирамиды $H = h$.

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат. Площадь квадрата можно вычислить через его диагональ $d$. Формула площади квадрата через диагональ имеет вид:

$S_{осн} = \frac{d^2}{2}$

Эту формулу можно вывести из теоремы Пифагора. Если сторона квадрата равна $a$, то $a^2 + a^2 = d^2$, откуда $2a^2 = d^2$. Так как площадь квадрата $S_{осн} = a^2$, то $S_{осн} = \frac{d^2}{2}$.

Теперь подставим известные значения — высоту $h$ и площадь основания $S_{осн} = \frac{d^2}{2}$ — в формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{d^2}{2} \cdot h$

Упростив выражение, получим конечную формулу для объема:

$V = \frac{d^2 h}{6}$

Ответ: $V = \frac{d^2 h}{6}$

10. В правильной треугольной пирамиде высота 6 см, боковое ребро 10 см.

Найдите объем пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

По условию задачи дана правильная треугольная пирамида. Это означает, что ее основанием является равносторонний треугольник, а высота проецируется в центр этого треугольника (центр описанной и вписанной окружностей).Высота пирамиды $h = 6$ см, боковое ребро $l = 10$ см.

Для нахождения объема нам необходимо сначала вычислить площадь основания. Для этого найдем сторону основания $a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $SO = h$, боковым ребром $SB = l$ и радиусом $OB = R$ окружности, описанной около основания. В этом треугольнике высота $h$ и радиус $R$ являются катетами, а боковое ребро $l$ — гипотенузой.

По теореме Пифагора для треугольника $SOB$ найдем радиус $R$:

$l^2 = h^2 + R^2$

$R^2 = l^2 - h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$R = \sqrt{64} = 8$ см.

Радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника связан с его стороной $a$ формулой:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Выразим и найдем сторону основания $a$:

$a = R \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$ (площадь равностороннего треугольника со стороной $a$):

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(8\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(64 \cdot 3) \sqrt{3}}{4} = \frac{192\sqrt{3}}{4} = 48\sqrt{3}$ см².

Наконец, подставим известные значения в формулу объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 48\sqrt{3} \cdot 6 = 16\sqrt{3} \cdot 6 = 96\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $96\sqrt{3}$ см³.

11. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 18 м и 24 м; все боковые ребра равны 17 м. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды используется формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $a = 18$ м и $b = 24$ м. Его площадь равна:

$S_{осн} = a \cdot b = 18 \cdot 24 = 432$ м².

2. Найдем высоту пирамиды.

По условию, все боковые ребра пирамиды равны ($l = 17$ м). Это означает, что вершина пирамиды (S) проецируется в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей (O). Таким образом, высота пирамиды $H = SO$ перпендикулярна плоскости основания.

Высота $H$, боковое ребро $l$ и половина диагонали основания $R$ (радиус описанной окружности) образуют прямоугольный треугольник $\triangle SOA$. По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.

Сначала найдем диагональ $d$ прямоугольника, используя теорему Пифагора для треугольника $\triangle ABC$:

$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30$ м.

Радиус $R$ описанной окружности равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15$ м.

Теперь можем найти высоту $H$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$:

$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$ м.

3. Вычислим объем пирамиды.

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 8 = 144 \cdot 8 = 1152$ м³.

Ответ: объем пирамиды равен 1152 м³.

12. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник со сторонами 17 м, 17 м и 16 м. Все боковые ребра равны 20 м. Найдите объем пирамиды.

Для нахождения объема пирамиды используется формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Решение задачи сводится к последовательному нахождению площади основания и высоты пирамиды.

1. Найдем площадь основания пирамиды ($S_{осн}$).

Основанием является равнобедренный треугольник со сторонами 17 м, 17 м и 16 м. Для нахождения его площади, сначала найдем высоту этого треугольника, проведенную к основанию длиной 16 м. В равнобедренном треугольнике эта высота является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по $16 / 2 = 8$ м.

Получаем два прямоугольных треугольника с гипотенузой 17 м и одним из катетов 8 м. Второй катет — это высота треугольника ($h_{осн}$). Найдем ее по теореме Пифагора:

$h_{осн} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ м.

Теперь можем вычислить площадь основания:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 8 \cdot 15 = 120$ м$^2$.

2. Найдем высоту пирамиды ($H$).

По условию, все боковые ребра пирамиды равны (20 м). Это означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника в основании. Расстояние от этого центра до любой вершины основания равно радиусу описанной окружности ($R$).

Высота пирамиды ($H$), боковое ребро ($L=20$ м) и радиус описанной окружности ($R$) образуют прямоугольный треугольник, в котором $L$ — гипотенуза, а $H$ и $R$ — катеты. Таким образом, $H^2 + R^2 = L^2$.

Сначала найдем радиус $R$ описанной окружности для треугольника в основании по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.

$R = \frac{17 \cdot 17 \cdot 16}{4 \cdot 120} = \frac{289 \cdot 16}{480} = \frac{289}{30}$ м.

Теперь найдем высоту пирамиды $H$:

$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{20^2 - (\frac{289}{30})^2} = \sqrt{400 - \frac{83521}{900}}$

$H = \sqrt{\frac{400 \cdot 900 - 83521}{900}} = \sqrt{\frac{360000 - 83521}{900}} = \sqrt{\frac{276479}{900}} = \frac{\sqrt{276479}}{30}$ м.

3. Найдем объем пирамиды ($V$).

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 120 \cdot \frac{\sqrt{276479}}{30}$

$V = 40 \cdot \frac{\sqrt{276479}}{30} = \frac{4 \cdot \sqrt{276479}}{3}$ м$^3$.

Ответ: $V = \frac{4\sqrt{276479}}{3}$ м$^3$.

13. Найдите объем пирамиды Хеопса, площадь основания которой 5,3 га, высота 147 м.

Для нахождения объема пирамиды используется формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $V$ — объем, $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

По условию задачи нам даны:
Площадь основания $S_{осн} = 5,3$ га.
Высота $h = 147$ м.

Перед вычислением объема необходимо привести все единицы измерения к единой системе. Переведем площадь основания из гектаров (га) в квадратные метры (м²), чтобы она соответствовала единицам измерения высоты (метрам).
Мы знаем, что 1 гектар равен 10 000 квадратных метров:
$1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$
Следовательно, площадь основания пирамиды в квадратных метрах равна:
$S_{осн} = 5,3 \text{ га} = 5,3 \cdot 10000 \text{ м}^2 = 53000 \text{ м}^2$.

Теперь мы можем подставить значения площади основания и высоты в формулу для расчета объема пирамиды:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 53000 \text{ м}^2 \cdot 147 \text{ м}$.

Выполним вычисления:
$V = \frac{1}{3} \cdot 53000 \cdot 147 = 53000 \cdot \frac{147}{3} = 53000 \cdot 49$.
$V = 2597000 \text{ м}^3$.

Таким образом, объем пирамиды Хеопса составляет 2 597 000 кубических метров.
Ответ: $2597000 \text{ м}^3$.

14. Найдите объем тетраэдра, вершины которого точки $M(2; 4; 12)$, $O(0; 0; 0)$, $N(4; 0; 0)$, $K(0; 10; 0)$.

Объем тетраэдра, построенного на векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$, выходящих из одной вершины, можно найти по формуле, использующей смешанное произведение этих векторов:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})|$

В качестве общей вершины выберем точку $O(0; 0; 0)$. Тогда векторами, на которых построен тетраэдр, будут векторы $\vec{OM}$, $\vec{ON}$ и $\vec{OK}$.

Найдем координаты этих векторов:

$\vec{OM} = (2-0; 4-0; 12-0) = (2; 4; 12)$

$\vec{ON} = (4-0; 0-0; 0-0) = (4; 0; 0)$

$\vec{OK} = (0-0; 10-0; 0-0) = (0; 10; 0)$

Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из координат этих векторов:

$(\vec{OM}, \vec{ON}, \vec{OK}) = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 12 \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \end{vmatrix}$

Раскроем определитель по третьему столбцу:

$\begin{vmatrix} 2 & 4 & 12 \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \end{vmatrix} = 12 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 10 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 10 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = 12 \cdot (4 \cdot 10 - 0 \cdot 0) = 12 \cdot 40 = 480$

Теперь найдем объем тетраэдра:

$V = \frac{1}{6} |480| = \frac{480}{6} = 80$

Ответ: 80

15. Основание пирамиды — равнобедренная трапеция со сторонами 6 см, 6 см, 6 см, 10 см, все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите объем пирамиды.

Согласно условию, все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом ($60^\circ$). Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания. Следовательно, в основание пирамиды — в данном случае в равнобедренную трапецию — должна существовать возможность вписать окружность.

Для того чтобы в выпуклый четырехугольник (и в трапецию в частности) можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны. Проверим это условие для трапеции, указанной в задаче.

Основание — равнобедренная трапеция со сторонами 6 см, 6 см, 6 см, 10 см. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, значит, их длина составляет по 6 см. Основаниями являются оставшиеся стороны длиной 6 см и 10 см. Обозначим основания как $a=10$ см и $b=6$ см, а боковые стороны как $c=d=6$ см.

Вычислим суммы длин противоположных сторон:

Сумма оснований: $a+b = 10 + 6 = 16$ см.

Сумма боковых сторон: $c+d = 6 + 6 = 12$ см.

Поскольку $16 \neq 12$, условие для вписанной окружности не выполняется. Это означает, что пирамиды с заданными в условии параметрами не существует. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка.

Предположим, что опечатка в длине боковых сторон. Для того чтобы в трапецию с основаниями 10 см и 6 см можно было вписать окружность, сумма боковых сторон должна быть равна сумме оснований, то есть $16$ см. Так как трапеция равнобедренная, каждая боковая сторона должна быть равна $16 / 2 = 8$ см. Далее приведено решение для исправленного условия: основание — равнобедренная трапеция с основаниями 10 см и 6 см и боковыми сторонами 8 см.

Объем пирамиды находится по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Сначала найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Она образует прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это боковая сторона трапеции (8 см), один катет — высота $h$, а второй катет — отрезок $x$, который вычисляется как полуразность оснований: $x = \frac{10-6}{2} = 2$ см.

По теореме Пифагора находим высоту трапеции: $h = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{64 - 4} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$ см.

Теперь вычисляем площадь трапеции (основания пирамиды): $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{10+6}{2} \cdot 2\sqrt{15} = 8 \cdot 2\sqrt{15} = 16\sqrt{15}$ см².

2. Нахождение высоты пирамиды ($H$)

Высота пирамиды $H$ связана с радиусом вписанной в основание окружности $r$ и углом наклона боковых граней $\alpha=60^\circ$ по формуле $H = r \cdot \tan(\alpha)$. Для трапеции, в которую можно вписать окружность, ее высота равна диаметру вписанной окружности ($h = 2r$). Отсюда находим радиус: $r = \frac{h}{2} = \frac{2\sqrt{15}}{2} = \sqrt{15}$ см.

Далее находим высоту пирамиды: $H = r \cdot \tan(60^\circ) = \sqrt{15} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

3. Нахождение объема пирамиды ($V$)

Подставляем найденные значения площади основания и высоты пирамиды в формулу объема: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{15} \cdot 3\sqrt{5} = 16 \cdot \sqrt{15 \cdot 5} = 16\sqrt{75} = 16\sqrt{25 \cdot 3} = 16 \cdot 5\sqrt{3} = 80\sqrt{3}$ см³.

Ответ: Задача в исходной формулировке некорректна, так как в трапецию с указанными сторонами невозможно вписать окружность. При исправлении условия (предположении, что боковые стороны равны 8 см, а основания 6 см и 10 см), объем пирамиды равен $80\sqrt{3}$ см³.