Номер 10, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

10. В правильной треугольной пирамиде высота 6 см, боковое ребро 10 см.

Найдите объем пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

По условию задачи дана правильная треугольная пирамида. Это означает, что ее основанием является равносторонний треугольник, а высота проецируется в центр этого треугольника (центр описанной и вписанной окружностей).Высота пирамиды $h = 6$ см, боковое ребро $l = 10$ см.

Для нахождения объема нам необходимо сначала вычислить площадь основания. Для этого найдем сторону основания $a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $SO = h$, боковым ребром $SB = l$ и радиусом $OB = R$ окружности, описанной около основания. В этом треугольнике высота $h$ и радиус $R$ являются катетами, а боковое ребро $l$ — гипотенузой.

По теореме Пифагора для треугольника $SOB$ найдем радиус $R$:

$l^2 = h^2 + R^2$

$R^2 = l^2 - h^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

$R = \sqrt{64} = 8$ см.

Радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника связан с его стороной $a$ формулой:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Выразим и найдем сторону основания $a$:

$a = R \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь основания $S_{осн}$ (площадь равностороннего треугольника со стороной $a$):

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(8\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(64 \cdot 3) \sqrt{3}}{4} = \frac{192\sqrt{3}}{4} = 48\sqrt{3}$ см².

Наконец, подставим известные значения в формулу объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 48\sqrt{3} \cdot 6 = 16\sqrt{3} \cdot 6 = 96\sqrt{3}$ см³.

Ответ: $96\sqrt{3}$ см³.