Номер 15, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

15. Основание пирамиды — равнобедренная трапеция со сторонами 6 см, 6 см, 6 см, 10 см, все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Найдите объем пирамиды.

Согласно условию, все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом ($60^\circ$). Это свойство означает, что вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания. Следовательно, в основание пирамиды — в данном случае в равнобедренную трапецию — должна существовать возможность вписать окружность.

Для того чтобы в выпуклый четырехугольник (и в трапецию в частности) можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны. Проверим это условие для трапеции, указанной в задаче.

Основание — равнобедренная трапеция со сторонами 6 см, 6 см, 6 см, 10 см. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, значит, их длина составляет по 6 см. Основаниями являются оставшиеся стороны длиной 6 см и 10 см. Обозначим основания как $a=10$ см и $b=6$ см, а боковые стороны как $c=d=6$ см.

Вычислим суммы длин противоположных сторон:

Сумма оснований: $a+b = 10 + 6 = 16$ см.

Сумма боковых сторон: $c+d = 6 + 6 = 12$ см.

Поскольку $16 \neq 12$, условие для вписанной окружности не выполняется. Это означает, что пирамиды с заданными в условии параметрами не существует. Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка.

Предположим, что опечатка в длине боковых сторон. Для того чтобы в трапецию с основаниями 10 см и 6 см можно было вписать окружность, сумма боковых сторон должна быть равна сумме оснований, то есть $16$ см. Так как трапеция равнобедренная, каждая боковая сторона должна быть равна $16 / 2 = 8$ см. Далее приведено решение для исправленного условия: основание — равнобедренная трапеция с основаниями 10 см и 6 см и боковыми сторонами 8 см.

Объем пирамиды находится по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Нахождение площади основания ($S_{осн}$)

Сначала найдем высоту трапеции $h$. Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему. Она образует прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это боковая сторона трапеции (8 см), один катет — высота $h$, а второй катет — отрезок $x$, который вычисляется как полуразность оснований: $x = \frac{10-6}{2} = 2$ см.

По теореме Пифагора находим высоту трапеции: $h = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{64 - 4} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15}$ см.

Теперь вычисляем площадь трапеции (основания пирамиды): $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{10+6}{2} \cdot 2\sqrt{15} = 8 \cdot 2\sqrt{15} = 16\sqrt{15}$ см².

2. Нахождение высоты пирамиды ($H$)

Высота пирамиды $H$ связана с радиусом вписанной в основание окружности $r$ и углом наклона боковых граней $\alpha=60^\circ$ по формуле $H = r \cdot \tan(\alpha)$. Для трапеции, в которую можно вписать окружность, ее высота равна диаметру вписанной окружности ($h = 2r$). Отсюда находим радиус: $r = \frac{h}{2} = \frac{2\sqrt{15}}{2} = \sqrt{15}$ см.

Далее находим высоту пирамиды: $H = r \cdot \tan(60^\circ) = \sqrt{15} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

3. Нахождение объема пирамиды ($V$)

Подставляем найденные значения площади основания и высоты пирамиды в формулу объема: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{15} \cdot 3\sqrt{5} = 16 \cdot \sqrt{15 \cdot 5} = 16\sqrt{75} = 16\sqrt{25 \cdot 3} = 16 \cdot 5\sqrt{3} = 80\sqrt{3}$ см³.

Ответ: Задача в исходной формулировке некорректна, так как в трапецию с указанными сторонами невозможно вписать окружность. При исправлении условия (предположении, что боковые стороны равны 8 см, а основания 6 см и 10 см), объем пирамиды равен $80\sqrt{3}$ см³.