Номер 5, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

5. Сколько бочек длиной 1,5 м и диаметром 0,8 м нужно, чтобы разлить в них содержимое цистерны длиной 4,5 м и диаметром 1,6 м?

Для того чтобы определить, сколько бочек потребуется для розлива содержимого цистерны, необходимо найти объемы цистерны и одной бочки, а затем разделить объем цистерны на объем одной бочки. И цистерна, и бочка имеют форму цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$, где $r$ – это радиус основания цилиндра, а $h$ – его высота (в данном случае – длина).

1. Вычисление объема цистерны ($V_{ц}$).

Длина цистерны $h_{ц} = 4,5$ м.
Диаметр цистерны $d_{ц} = 1,6$ м, следовательно, ее радиус $r_{ц} = \frac{d_{ц}}{2} = \frac{1,6}{2} = 0,8$ м.
Подставляем значения в формулу:
$V_{ц} = \pi \cdot r_{ц}^2 \cdot h_{ц} = \pi \cdot (0,8)^2 \cdot 4,5 = \pi \cdot 0,64 \cdot 4,5 = 2,88\pi$ м³.

2. Вычисление объема одной бочки ($V_{б}$).

Длина бочки $h_{б} = 1,5$ м.
Диаметр бочки $d_{б} = 0,8$ м, следовательно, ее радиус $r_{б} = \frac{d_{б}}{2} = \frac{0,8}{2} = 0,4$ м.
Подставляем значения в формулу:
$V_{б} = \pi \cdot r_{б}^2 \cdot h_{б} = \pi \cdot (0,4)^2 \cdot 1,5 = \pi \cdot 0,16 \cdot 1,5 = 0,24\pi$ м³.

3. Расчет количества бочек ($N$).

Разделим объем цистерны на объем одной бочки:
$N = \frac{V_{ц}}{V_{б}} = \frac{2,88\pi}{0,24\pi}$
Число $\pi$ в числителе и знаменателе сокращается:
$N = \frac{2,88}{0,24} = \frac{288}{24} = 12$.

Также можно было сразу составить отношение, что упрощает вычисления:
$N = \frac{V_{ц}}{V_{б}} = \frac{\pi r_{ц}^2 h_{ц}}{\pi r_{б}^2 h_{б}} = \frac{r_{ц}^2 h_{ц}}{r_{б}^2 h_{б}} = (\frac{r_{ц}}{r_{б}})^2 \cdot \frac{h_{ц}}{h_{б}}$
$N = (\frac{0,8}{0,4})^2 \cdot \frac{4,5}{1,5} = (2)^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12 бочек.