Номер 9, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

9. Прямоугольник со сторонами 4 и 6 вращают сначала вокруг одной стороны, а затем вокруг другой. Найдите объемы получившихся цилиндров и сравните их.

Задача состоит в том, чтобы найти и сравнить объемы двух цилиндров, образованных вращением прямоугольника со сторонами 4 и 6 вокруг каждой из этих сторон.

Формула для вычисления объема цилиндра: $V = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

Вращение вокруг стороны длиной 6

В первом случае прямоугольник вращается вокруг стороны, длина которой равна 6. Эта сторона становится осью вращения и, следовательно, высотой цилиндра. Другая сторона, длиной 4, при вращении образует круглое основание. Ее длина становится радиусом основания.

Таким образом, для первого цилиндра имеем:

• Высота $h_1 = 6$
• Радиус основания $r_1 = 4$

Подставим эти значения в формулу объема:

$V_1 = \pi \cdot r_1^2 \cdot h_1 = \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = \pi \cdot 16 \cdot 6 = 96\pi$

Ответ: Объем первого цилиндра равен $96\pi$.

Вращение вокруг стороны длиной 4

Во втором случае прямоугольник вращается вокруг стороны, длина которой равна 4. Эта сторона становится высотой цилиндра, а другая сторона, длиной 6, — радиусом основания.

Таким образом, для второго цилиндра имеем:

• Высота $h_2 = 4$
• Радиус основания $r_2 = 6$

Подставим эти значения в формулу объема:

$V_2 = \pi \cdot r_2^2 \cdot h_2 = \pi \cdot 6^2 \cdot 4 = \pi \cdot 36 \cdot 4 = 144\pi$

Ответ: Объем второго цилиндра равен $144\pi$.

Сравнение объемов

Теперь сравним полученные объемы: $V_1 = 96\pi$ и $V_2 = 144\pi$.

Так как $144 > 96$, то $V_2 > V_1$. Объем второго цилиндра больше объема первого.

Найдем их отношение, чтобы понять, во сколько раз они отличаются:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{144\pi}{96\pi} = \frac{144}{96}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 144 и 96 равен 48.

$\frac{144 \div 48}{96 \div 48} = \frac{3}{2} = 1.5$

Это означает, что объем второго цилиндра (полученного вращением вокруг более короткой стороны) в 1.5 раза больше объема первого цилиндра (полученного вращением вокруг более длинной стороны).

Ответ: Объемы полученных цилиндров равны $96\pi$ и $144\pi$. Цилиндр, полученный вращением вокруг стороны длиной 4, имеет больший объем. Его объем в 1.5 раза больше объема цилиндра, полученного вращением вокруг стороны длиной 6.