Номер 17, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

17. Вычислите плотность детали, имеющей форму усеченного конуса, если ее масса равна 977 г, диаметры оснований 12 и 15 см, а длина образующей 6 см.

Для вычисления плотности детали ($\rho$) воспользуемся формулой:

$\rho = \frac{m}{V}$

где $m$ - масса детали, а $V$ - ее объем. Масса нам известна: $m = 977$ г. Нам необходимо найти объем.

Деталь имеет форму усеченного конуса. Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

где $h$ - высота конуса, $R$ и $r$ - радиусы его оснований.

Найдем радиусы оснований из заданных диаметров:

Радиус большего основания: $R = \frac{d_2}{2} = \frac{15 \text{ см}}{2} = 7.5$ см.

Радиус меньшего основания: $r = \frac{d_1}{2} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6$ см.

Высота конуса $h$ не дана напрямую, но мы можем найти ее, используя длину образующей $l = 6$ см. Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое представляет собой равнобокую трапецию. Высота $h$, образующая $l$ и разность радиусов $R-r$ образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Отсюда выразим и вычислим высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2}$

$R - r = 7.5 \text{ см} - 6 \text{ см} = 1.5$ см.

$h = \sqrt{6^2 - 1.5^2} = \sqrt{36 - 2.25} = \sqrt{33.75}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

$V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{33.75} (7.5^2 + 7.5 \cdot 6 + 6^2)$

$V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{33.75} (56.25 + 45 + 36)$

$V = \frac{1}{3} \pi \sqrt{33.75} (137.25)$

Для дальнейших расчетов найдем приближенные значения, используя $\pi \approx 3.14159$ и $\sqrt{33.75} \approx 5.8095$:

$V \approx \frac{1}{3} \cdot 3.14159 \cdot 5.8095 \cdot 137.25 \approx 835.25$ см$^3$.

Наконец, вычислим плотность детали, округляя результат до сотых:

$\rho = \frac{m}{V} \approx \frac{977 \text{ г}}{835.25 \text{ см}^3} \approx 1.17$ г/см$^3$.

Ответ: $\approx 1.17$ г/см$^3$.