Номер 6, страница 64 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

6. Из сплошного металлического шара радиусом $R$ изготовили полый шар, толщина стенок которого $0,1 R$. Каков его внешний радиус?

Поскольку полый шар изготавливается из материала сплошного шара, объем металла сохраняется. Объем исходного сплошного шара радиусом $R$ равен $V_{исх} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Обозначим искомый внешний радиус нового полого шара как $R_{внеш}$, а его внутренний радиус — как $R_{внутр}$. Согласно условию, толщина стенок шара составляет $t = 0.1 R$. Толщина стенки является разностью между внешним и внутренним радиусами: $t = R_{внеш} - R_{внутр}$. Отсюда мы можем выразить внутренний радиус через внешний: $R_{внутр} = R_{внеш} - t = R_{внеш} - 0.1 R$.

Объем материала в полом шаре равен разности объемов сфер, образованных внешним и внутренним радиусами: $V_{полый} = \frac{4}{3}\pi R_{внеш}^3 - \frac{4}{3}\pi R_{внутр}^3 = \frac{4}{3}\pi (R_{внеш}^3 - R_{внутр}^3)$.

Приравнивая объемы исходного и полого шаров на основе закона сохранения объема, получаем:
$V_{исх} = V_{полый}$
$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (R_{внеш}^3 - R_{внутр}^3)$
Сократив общий множитель $\frac{4}{3}\pi$, получаем равенство:
$R^3 = R_{внеш}^3 - R_{внутр}^3$.

Подставим в это уравнение выражение для внутреннего радиуса $R_{внутр} = R_{внеш} - 0.1 R$:
$R^3 = R_{внеш}^3 - (R_{внеш} - 0.1 R)^3$.

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:
$R^3 = R_{внеш}^3 - (R_{внеш}^3 - 3R_{внеш}^2(0.1R) + 3R_{внеш}(0.1R)^2 - (0.1R)^3)$
$R^3 = R_{внеш}^3 - R_{внеш}^3 + 0.3 R \cdot R_{внеш}^2 - 0.03 R^2 \cdot R_{внеш} + 0.001 R^3$.

Упростим выражение и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения относительно $R_{внеш}$:
$R^3 - 0.001R^3 = 0.3 R \cdot R_{внеш}^2 - 0.03 R^2 \cdot R_{внеш}$
$0.999 R^3 = 0.3 R \cdot R_{внеш}^2 - 0.03 R^2 \cdot R_{внеш}$
Перенесем все члены в одну сторону:
$0.3 R \cdot R_{внеш}^2 - 0.03 R^2 \cdot R_{внеш} - 0.999 R^3 = 0$.
Поскольку радиус $R$ — величина ненулевая, мы можем разделить все уравнение на $R$:
$0.3 R_{внеш}^2 - 0.03 R \cdot R_{внеш} - 0.999 R^2 = 0$.

Для удобства вычислений умножим уравнение на 1000 и разделим на 3:
$100 R_{внеш}^2 - 10 R \cdot R_{внеш} - 333 R^2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение для $R_{внеш}$ с помощью формулы для корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $x = R_{внеш}$, $a=100$, $b=-10R$, $c=-333R^2$:
$R_{внеш} = \frac{-(-10R) \pm \sqrt{(-10R)^2 - 4(100)(-333R^2)}}{2 \cdot 100}$
$R_{внеш} = \frac{10R \pm \sqrt{100R^2 + 133200R^2}}{200}$
$R_{внеш} = \frac{10R \pm \sqrt{133300R^2}}{200}$
$R_{внеш} = \frac{10R \pm R\sqrt{133300}}{200} = \frac{10R \pm 10R\sqrt{1333}}{200}$.

Сократив дробь на 10, получим:
$R_{внеш} = \frac{R(1 \pm \sqrt{1333})}{20}$.

Так как радиус должен быть положительной величиной, мы выбираем решение со знаком плюс.

Ответ: $R \frac{1 + \sqrt{1333}}{20}$.