Номер 16, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

16. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно $в$ и наклонено к плоскости основания под углом $\alpha$. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Основанием пирамиды является квадрат $ABCD$. Поскольку пирамида правильная, ее высота $SO$ проецируется в центр основания $O$ (точку пересечения диагоналей квадрата). Боковое ребро по условию равно $b$, например, $SA = b$. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания $AO$. Таким образом, $\angle SAO = \alpha$.

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания $AC$. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник $SAC$, в котором $SA = SC = b$. Высота пирамиды $SO$ является также высотой этого треугольника.

Из прямоугольного треугольника $SAO$ найдем высоту пирамиды $SO$ и половину диагонали основания $AO$:

$SO = H = SA \cdot \sin(\angle SAO) = b \sin\alpha$

$AO = SA \cdot \cos(\angle SAO) = b \cos\alpha$

Центр $O_{сф}$ сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте $SO$. Обозначим радиус описанной сферы как $R$. По определению, центр сферы равноудален от всех вершин пирамиды. Следовательно, расстояния от $O_{сф}$ до вершин $S$ и $A$ равны радиусу $R$: $O_{сф}S = O_{сф}A = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AO_{сф}O$. Его катеты — $AO$ и $OO_{сф}$, а гипотенуза — $O_{сф}A = R$.

Мы уже нашли $AO = b \cos\alpha$.

Длину катета $OO_{сф}$ можно выразить через высоту $SO$ и радиус $R$. Так как точка $O_{сф}$ лежит на отрезке $SO$, то $OO_{сф} = |SO - O_{сф}S| = |b \sin\alpha - R|$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $AO_{сф}O$:

$O_{сф}A^2 = AO^2 + OO_{сф}^2$

$R^2 = (b \cos\alpha)^2 + (b \sin\alpha - R)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $R$:

$R^2 = b^2 \cos^2\alpha + b^2 \sin^2\alpha - 2Rb \sin\alpha + R^2$

$0 = b^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - 2Rb \sin\alpha$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$0 = b^2 - 2Rb \sin\alpha$

$2Rb \sin\alpha = b^2$

Поскольку $b \neq 0$ и $\alpha$ — угол в пирамиде (значит $\sin\alpha \neq 0$), мы можем разделить обе части на $2b \sin\alpha$:

$R = \frac{b^2}{2b \sin\alpha} = \frac{b}{2 \sin\alpha}$

Ответ: $R = \frac{b}{2 \sin\alpha}$