Номер 15, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

Параграф 11. Сфера и шар. Глава II. Тела вращения - номер 15, страница 54.

Условие rus.

15. Найдите радиус сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, стороны которого 6 дм, 8 дм и 5 дм.

Решение.

Решение 2 (rus).

Радиус $R$ сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, равен половине его главной диагонали $d$. Диаметр сферы совпадает с диагональю параллелепипеда. Центр описанной сферы находится в точке пересечения диагоналей параллелепипеда.

Квадрат главной диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины $a$, ширины $b$ и высоты $c$). Формула для нахождения квадрата диагонали:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Визуальное представление задачи:

В нашем случае даны стороны параллелепипеда: $a = 6$ дм, $b = 8$ дм и $c = 5$ дм. Подставим эти значения в формулу для нахождения квадрата диагонали:
$d^2 = 6^2 + 8^2 + 5^2$
$d^2 = 36 + 64 + 25$
$d^2 = 100 + 25$
$d^2 = 125$

Теперь найдем длину диагонали $d$, извлекая квадратный корень:
$d = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ дм.

Радиус $R$ описанной сферы равен половине диагонали $d$:
$R = \frac{d}{2} = \frac{5\sqrt{5}}{2} = 2.5\sqrt{5}$ дм.

Ответ: $2.5\sqrt{5}$ дм.