Номер 12, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

12. Стороны ромба, равные 8 см, касаются сферы радиусом 4 см, угол ромба равен $60^\circ$. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости ромба.

Пусть $O$ — центр сферы, а $\pi$ — плоскость ромба. Искомое расстояние — это длина перпендикуляра $h$, опущенного из точки $O$ на плоскость $\pi$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $O'$. Поскольку все стороны ромба касаются сферы, то точки касания равноудалены от центра сферы $O$ (расстояние равно радиусу сферы $R$). Также проекция центра сферы, точка $O'$, будет равноудалена от сторон ромба. В ромбе точкой, равноудаленной от всех сторон, является точка пересечения его диагоналей, которая также является центром вписанной окружности. Расстояние от точки $O'$ до любой стороны ромба равно радиусу вписанной в ромб окружности, который мы обозначим как $r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO'K$, где $K$ — точка касания одной из сторон ромба со сферой.

В этом треугольнике:
- $OK$ — гипотенуза, равная радиусу сферы $R = 4$ см.
- $OO'$ — катет, равный искомому расстоянию $h$.
- $O'K$ — катет, равный радиусу $r$ вписанной в ромб окружности.
По теореме Пифагора имеем: $R^2 = h^2 + r^2$. Отсюда $h = \sqrt{R^2 - r^2}$.

Найдем радиус $r$ вписанной в ромб окружности. Сторона ромба $a = 8$ см, а острый угол $\alpha = 60^\circ$. Высота ромба $h_{ромба}$ связана с радиусом вписанной окружности соотношением $h_{ромба} = 2r$. Высоту можно найти по формуле $h_{ромба} = a \cdot \sin \alpha$.
Вычисляем высоту:$h_{ромба} = 8 \cdot \sin 60^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.
Теперь находим радиус вписанной окружности:$r = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь мы можем вычислить искомое расстояние $h$, подставив известные значения $R$ и $r$ в формулу:
$h = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - (4 \cdot 3)} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2$ см.

Ответ: 2 см.