Номер 11, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

11. Вершины равностороннего треугольника со стороной 10 см лежат на поверхности шара радиусом 10 см. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 10$ см. Вершины этого треугольника лежат на поверхности шара с центром в точке $O$ и радиусом $R = 10$ см. Требуется найти расстояние от центра шара $O$ до плоскости треугольника $ABC$.

Плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, пересекает шар по окружности. Вершины $A$, $B$ и $C$ лежат на этой окружности. Эта окружность является описанной около треугольника $ABC$.

Пусть $O'$ — центр этой окружности (а также центр треугольника $ABC$). Расстояние от центра шара $O$ до плоскости треугольника — это длина перпендикуляра $OO'$, опущенного из точки $O$ на плоскость $(ABC)$. Обозначим это расстояние как $d$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OO'A$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $OA$ — это радиус шара, так как точка $A$ лежит на поверхности шара. $OA = R = 10$ см.
• Катет $OO'$ — это искомое расстояние $d$.
• Катет $O'A$ — это радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника $ABC$. Обозначим его как $r$.

1. Найдем радиус описанной окружности $r$ для равностороннего треугольника.

Формула для радиуса $r$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, имеет вид:

$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставляем значение $a = 10$ см:

$r = \frac{10}{\sqrt{3}}$ см.

2. Найдем расстояние $d$ с помощью теоремы Пифагора.

В прямоугольном треугольнике $OO'A$ по теореме Пифагора имеем:

$R^2 = d^2 + r^2$

Отсюда выразим $d^2$:

$d^2 = R^2 - r^2$

Подставим известные значения $R = 10$ и $r = \frac{10}{\sqrt{3}}$:

$d^2 = 10^2 - (\frac{10}{\sqrt{3}})^2 = 100 - \frac{100}{3}$

Приведем к общему знаменателю:

$d^2 = \frac{300 - 100}{3} = \frac{200}{3}$

Теперь найдем $d$, извлекая квадратный корень:

$d = \sqrt{\frac{200}{3}} = \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{100 \cdot 2}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{10\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{6}}{3}$ см.

Ответ: расстояние от центра шара до плоскости треугольника равно $\frac{10\sqrt{6}}{3}$ см.