Номер 4, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

4. Сколько различных сфер можно провести:

1) через две данные точки

Пусть даны две различные точки A и B. Сфера — это множество всех точек в пространстве, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром. Если сфера проходит через точки A и B, то ее центр O должен быть равноудален от этих точек, то есть должно выполняться равенство $OA = OB$.

Геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух данных точек A и B, представляет собой плоскость, перпендикулярную отрезку AB и проходящую через его середину. Эту плоскость называют срединной перпендикулярной плоскостью к отрезку AB.

Любая точка O, принадлежащая этой плоскости, может служить центром сферы, проходящей через A и B. Радиус такой сферы будет равен расстоянию $R = OA = OB$. Так как плоскость содержит бесконечное множество точек, то существует и бесконечное множество таких сфер. Их центры лежат на срединной перпендикулярной плоскости к отрезку AB.

Ответ: через две данные точки можно провести бесконечно много различных сфер.

2) через три данные точки

Пусть даны три точки A, B и C. Центр O сферы, проходящей через эти точки, должен быть равноудален от них, то есть должно выполняться равенство $OA = OB = OC$.

Рассмотрим два возможных случая расположения этих точек.

Случай 1: Точки A, B и C лежат на одной прямой (коллинеарны).
Из условия $OA = OB$ следует, что центр O должен лежать на срединной перпендикулярной плоскости $\Pi_{AB}$ к отрезку AB. Из условия $OB = OC$ следует, что центр O должен лежать на срединной перпендикулярной плоскости $\Pi_{BC}$ к отрезку BC. Так как точки A, B, C лежат на одной прямой (и, как правило, предполагаются различными), то отрезки AB и BC также лежат на этой прямой. Плоскости $\Pi_{AB}$ и $\Pi_{BC}$ обе перпендикулярны этой прямой, следовательно, они параллельны друг другу. Поскольку они проходят через разные точки (середины отрезков AB и BC), они не совпадают. Параллельные плоскости не пересекаются, значит, не существует точки O, которая принадлежала бы обеим плоскостям одновременно. Таким образом, в этом случае провести сферу невозможно.

Случай 2: Точки A, B и C не лежат на одной прямой (неколлинеарны).
В этом случае точки A, B и C образуют треугольник. Центр сферы O должен лежать на пересечении срединных перпендикулярных плоскостей $\Pi_{AB}$ и $\Pi_{BC}$. Поскольку отрезки AB и BC не параллельны, эти плоскости также не параллельны. Их пересечением является прямая линия L. Любая точка O, лежащая на этой прямой L, будет равноудалена от точек A, B и C (так как из $OA=OB$ и $OB=OC$ следует $OA=OB=OC$). Эта прямая L перпендикулярна плоскости треугольника ABC и проходит через центр его описанной окружности.

Поскольку прямая L состоит из бесконечного множества точек, существует бесконечно много возможных центров для сфер, проходящих через точки A, B и C. Каждой точке на прямой L соответствует своя уникальная сфера.

Таким образом, ответ на вопрос зависит от расположения трех точек. Если в задаче не указано иное, обычно подразумевается общий случай, когда точки не лежат на одной прямой.

Ответ: если три точки лежат на одной прямой, то провести сферу нельзя (0 сфер); если три точки не лежат на одной прямой, то можно провести бесконечно много сфер.