Номер 5, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

5. Диаметр основания конуса 6 м. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной высоте конуса и проходящей через ее середину.

Дано:

Конус, у которого диаметр основания $D = 6$ м.

Сечение конуса проведено плоскостью, перпендикулярной высоте конуса и проходящей через ее середину.

Найти:

Площадь этого сечения ($S_{сеч}$).

Решение:

1. Найдем радиус основания конуса ($R$). Радиус равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3$ м.

2. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его высоте, представляет собой круг. Этот круг является основанием меньшего конуса, подобного исходному.

3. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое является равнобедренным треугольником. Высота этого треугольника совпадает с высотой конуса $H$. Прямая, по которой секущая плоскость пересекает осевое сечение, является средней линией этого треугольника, так как она параллельна основанию (диаметру $D$) и проходит через середину высоты.

4. Из подобия треугольников (малого, отсеченного плоскостью, и исходного) следует, что отношение их высот равно отношению радиусов их оснований. Пусть $h$ – высота малого конуса, а $r$ – радиус его основания (то есть радиус сечения).

По условию, плоскость проходит через середину высоты, значит $h = \frac{H}{2}$.

Коэффициент подобия $k$ равен:

$k = \frac{h}{H} = \frac{r}{R}$

Подставим известное соотношение высот:

$\frac{H/2}{H} = \frac{r}{R} \implies \frac{1}{2} = \frac{r}{R}$

Отсюда находим радиус сечения $r$:

$r = \frac{R}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ м.

5. Теперь найдем площадь сечения $S_{сеч}$. Так как сечение является кругом с радиусом $r$, его площадь вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \pi r^2$

Подставим значение $r$:

$S_{сеч} = \pi \cdot (1.5)^2 = 2.25\pi$ м$^2$.

Ответ: $2.25\pi$ м$^2$.