Номер 3, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

3. Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 дм и 10 дм, а образующая — 13 дм. Найдите:

а) высоту усеченного конуса;

б) площадь его осевого сечения;

в) угол наклона образующей к плоскости основания.

Дано: усеченный конус, у которого радиус меньшего основания $r_1 = 5$ дм, радиус большего основания $r_2 = 10$ дм, а длина образующей $l = 13$ дм.

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию, основаниями которой являются диаметры оснований конуса ($2r_1 = 10$ дм и $2r_2 = 20$ дм), а боковыми сторонами — образующие конуса ($l=13$ дм). Высота этой трапеции является высотой усеченного конуса.

Рассмотрим осевое сечение — трапецию $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$.

а) высоту усеченного конуса

В трапеции $ABCD$ проведем высоту $BH$ на основание $AD$. Образуется прямоугольный треугольник $ABH$. Длина катета $AH$ равна полуразности оснований трапеции:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2r_2 - 2r_1}{2} = r_2 - r_1 = 10 - 5 = 5$ дм.

Гипотенуза $AB$ равна образующей $l=13$ дм. Второй катет $BH$ является высотой $h$ усеченного конуса. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$l^2 = (r_2 - r_1)^2 + h^2$

$h^2 = l^2 - (r_2 - r_1)^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ дм.

Ответ: 12 дм.

б) площадь его осевого сечения

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ — это площадь трапеции $ABCD$. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

В нашем случае основаниями являются диаметры $AD = 2r_2 = 20$ дм и $BC = 2r_1 = 10$ дм, а высота $h=12$ дм.

$S_{сеч} = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{20+10}{2} \cdot 12 = \frac{30}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$ дм².

Альтернативно, можно использовать формулу через радиусы:

$S_{сеч} = (r_1+r_2) \cdot h = (5+10) \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$ дм².

Ответ: 180 дм².

в) угол наклона образующей к плоскости основания

Угол наклона образующей к плоскости основания — это угол $\alpha$ между образующей $AB$ и радиусом большего основания, который в осевом сечении представлен отрезком $AH$ на прямой $AD$. Этот угол $\alpha$ (или $\angle BAH$) можно найти из прямоугольного треугольника $ABH$.

Мы знаем длины всех сторон треугольника $ABH$: катет $AH=5$ дм, катет $BH=12$ дм, гипотенуза $AB=13$ дм. Мы можем использовать любую тригонометрическую функцию для нахождения угла $\alpha$. Например, через косинус:

$\cos(\alpha) = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{13}$

Отсюда угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения:

$\alpha = \arccos(\frac{5}{13})$

Также можно выразить через синус или тангенс:

$\sin(\alpha) = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{13} \Rightarrow \alpha = \arcsin(\frac{12}{13})$

$\tan(\alpha) = \frac{BH}{AH} = \frac{12}{5} = 2.4 \Rightarrow \alpha = \arctan(2.4)$

Все эти выражения представляют один и тот же угол.

Ответ: $\arccos(\frac{5}{13})$.