Номер 3, страница 54 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

3. Диаметр сферы равен $\sqrt{3}$. Определите, внутри или вне сферы расположена точка А, если она:

1) удалена от центра сферы на $\sqrt{2}$;

2) удалена от центра на 0,85.

Чтобы определить, находится ли точка внутри или вне сферы, нужно сравнить расстояние от этой точки до центра сферы с радиусом самой сферы. Если расстояние меньше радиуса, точка находится внутри сферы. Если расстояние больше радиуса, точка находится вне сферы. Если расстояние равно радиусу, точка лежит на поверхности сферы.

Сначала найдем радиус сферы. По условию, диаметр сферы $d$ равен $\sqrt{3}$. Радиус $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Расстояние от точки А до центра сферы, обозначим его $d_A$, равно $\sqrt{2}$.

Сравним это расстояние с радиусом сферы $R = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Для удобства сравнения возведем оба значения в квадрат:

$d_A^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

$R^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} = 0.75$

Так как $2 > 0.75$, то и $d_A^2 > R^2$. Поскольку расстояние и радиус являются положительными величинами, отсюда следует, что $d_A > R$.

Это означает, что точка А удалена от центра на расстояние, большее, чем радиус сферы.

Ответ: точка А расположена вне сферы.

2) Расстояние от точки А до центра сферы равно $d_A = 0.85$.

Сравним это расстояние с радиусом сферы $R = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Снова возведем оба значения в квадрат:

$d_A^2 = (0.85)^2 = 0.7225$

$R^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4} = 0.75$

Так как $0.7225 < 0.75$, то и $d_A^2 < R^2$. Следовательно, $d_A < R$.

Можно также сравнить приближенные значения: $R = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866$. Очевидно, что $0.85 < 0.866$, что подтверждает наш вывод $d_A < R$.

Это означает, что точка А удалена от центра на расстояние, меньшее, чем радиус сферы.

Ответ: точка А расположена внутри сферы.