Страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

? ! 1. Какой фигурой является сечение усеченного конуса плоскостью:
а) параллельной основанию;
б) проходящей через ось вращения конуса?

а) параллельной основанию

Усеченный конус — это тело вращения, которое образуется при вращении прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Основания усеченного конуса представляют собой два круга, расположенные в параллельных плоскостях.

Когда усеченный конус пересекается плоскостью, параллельной его основаниям, сечение представляет собой фигуру, подобную этим основаниям. Так как основания являются кругами, то и любая такая секущая плоскость будет давать в сечении круг. Радиус этого круга будет иметь значение между радиусами верхнего и нижнего оснований конуса.

Ответ: Круг.

б) проходящей через ось вращения конуса

Сечение, которое проходит через ось вращения тела, называется осевым сечением. Ось вращения усеченного конуса соединяет центры его верхнего и нижнего оснований.

Плоскость, проходящая через эту ось, пересекает основания конуса по их диаметрам. Так как основания лежат в параллельных плоскостях, эти диаметры будут параллельны друг другу. Боковую поверхность конуса эта плоскость пересекает по двум образующим. Образующие — это отрезки, соединяющие концы диаметров. В усеченном конусе, полученном вращением прямоугольной трапеции, осевые образующие равны.

В итоге образуется плоская фигура, ограниченная двумя параллельными отрезками (диаметрами оснований) и двумя равными боковыми сторонами (образующими). Такая фигура является равнобокой (или равнобедренной) трапецией.

Ответ: Равнобокая трапеция.

2. Равнобедренную трапецию с основаниями 12 и 20 и высотой 3 вращают вокруг оси симметрии. Найдите площадь поверхности полученной фигуры вращения.

При вращении равнобедренной трапеции вокруг ее оси симметрии образуется усеченный конус. Ось симметрии проходит через середины оснований трапеции перпендикулярно им.

Площадь полной поверхности усеченного конуса складывается из площадей двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{верхн. осн.} + S_{нижн. осн.} + S_{бок}$

Найдем параметры усеченного конуса, исходя из данных трапеции:

• Высота усеченного конуса $h$ равна высоте трапеции, то есть $h=3$.
• Радиус нижнего, большего основания $R$ равен половине длины большего основания трапеции: $R = \frac{20}{2} = 10$.
• Радиус верхнего, меньшего основания $r$ равен половине длины меньшего основания трапеции: $r = \frac{12}{2} = 6$.

1. Найдем площади оснований.

Площадь нижнего основания (круга радиусом $R$):

$S_{нижн. осн.} = \pi R^2 = \pi \cdot 10^2 = 100\pi$.

Площадь верхнего основания (круга радиусом $r$):

$S_{верхн. осн.} = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$.

2. Найдем площадь боковой поверхности.

Формула площади боковой поверхности усеченного конуса: $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $l$ — длина образующей.

Образующая $l$ усеченного конуса равна боковой стороне равнобедренной трапеции. Найдем ее. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции $h$, боковой стороной $l$ (гипотенуза) и катетом, равным разности радиусов оснований $(R-r)$.

Длина катета равна: $R-r = 10-6 = 4$.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

$l^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$l = \sqrt{25} = 5$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi(10+6) \cdot 5 = \pi \cdot 16 \cdot 5 = 80\pi$.

3. Найдем площадь полной поверхности.

Сложим площади оснований и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{нижн. осн.} + S_{верхн. осн.} + S_{бок} = 100\pi + 36\pi + 80\pi = 216\pi$.

Ответ: $216\pi$.

3. Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 дм и 10 дм, а образующая — 13 дм. Найдите:

а) высоту усеченного конуса;

б) площадь его осевого сечения;

в) угол наклона образующей к плоскости основания.

Дано: усеченный конус, у которого радиус меньшего основания $r_1 = 5$ дм, радиус большего основания $r_2 = 10$ дм, а длина образующей $l = 13$ дм.

Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию, основаниями которой являются диаметры оснований конуса ($2r_1 = 10$ дм и $2r_2 = 20$ дм), а боковыми сторонами — образующие конуса ($l=13$ дм). Высота этой трапеции является высотой усеченного конуса.

Рассмотрим осевое сечение — трапецию $ABCD$, где $BC$ и $AD$ — основания. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$.

а) высоту усеченного конуса

В трапеции $ABCD$ проведем высоту $BH$ на основание $AD$. Образуется прямоугольный треугольник $ABH$. Длина катета $AH$ равна полуразности оснований трапеции:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2r_2 - 2r_1}{2} = r_2 - r_1 = 10 - 5 = 5$ дм.

Гипотенуза $AB$ равна образующей $l=13$ дм. Второй катет $BH$ является высотой $h$ усеченного конуса. По теореме Пифагора:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$l^2 = (r_2 - r_1)^2 + h^2$

$h^2 = l^2 - (r_2 - r_1)^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$

$h = \sqrt{144} = 12$ дм.

Ответ: 12 дм.

б) площадь его осевого сечения

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ — это площадь трапеции $ABCD$. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

В нашем случае основаниями являются диаметры $AD = 2r_2 = 20$ дм и $BC = 2r_1 = 10$ дм, а высота $h=12$ дм.

$S_{сеч} = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{20+10}{2} \cdot 12 = \frac{30}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$ дм².

Альтернативно, можно использовать формулу через радиусы:

$S_{сеч} = (r_1+r_2) \cdot h = (5+10) \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180$ дм².

Ответ: 180 дм².

в) угол наклона образующей к плоскости основания

Угол наклона образующей к плоскости основания — это угол $\alpha$ между образующей $AB$ и радиусом большего основания, который в осевом сечении представлен отрезком $AH$ на прямой $AD$. Этот угол $\alpha$ (или $\angle BAH$) можно найти из прямоугольного треугольника $ABH$.

Мы знаем длины всех сторон треугольника $ABH$: катет $AH=5$ дм, катет $BH=12$ дм, гипотенуза $AB=13$ дм. Мы можем использовать любую тригонометрическую функцию для нахождения угла $\alpha$. Например, через косинус:

$\cos(\alpha) = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{13}$

Отсюда угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения:

$\alpha = \arccos(\frac{5}{13})$

Также можно выразить через синус или тангенс:

$\sin(\alpha) = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{13} \Rightarrow \alpha = \arcsin(\frac{12}{13})$

$\tan(\alpha) = \frac{BH}{AH} = \frac{12}{5} = 2.4 \Rightarrow \alpha = \arctan(2.4)$

Все эти выражения представляют один и тот же угол.

Ответ: $\arccos(\frac{5}{13})$.

4. Ведро имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого 36 см и 20 см, а образующая 17 см. Сколько краски нужно для покраски с обеих сторон такого ведра, если на $1\text{м}^2$ поверхности требуется 200 г краски?

Нахождение радиусов оснований ведра

Ведро имеет форму усеченного конуса. По заданным диаметрам оснований найдем их радиусы.

Диаметр большего основания (верхнего края ведра) $D = 36$ см. Его радиус $R$ равен:

$R = \frac{D}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Диаметр меньшего основания (дна ведра) $d = 20$ см. Его радиус $r$ равен:

$r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Образующая усеченного конуса $l = 17$ см.

2. Расчет общей площади поверхности для покраски

Необходимо покрасить ведро с обеих сторон (внешней и внутренней). Это означает, что нужно найти сумму площадей боковой поверхности и дна, а затем умножить ее на два, так как у ведра есть внутренняя и внешняя поверхности. Верхнее основание у ведра открыто.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R+r)l$

Подставим известные значения:

$S_{бок} = \pi(18 + 10) \cdot 17 = \pi \cdot 28 \cdot 17 = 476\pi \text{ см}^2$.

Площадь дна ведра (меньшего основания) — это площадь круга:

$S_{дна} = \pi r^2$

Подставим значение радиуса дна:

$S_{дна} = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \text{ см}^2$.

Общая площадь поверхности, которую нужно покрасить, равна удвоенной сумме площади боковой поверхности и площади дна:

$S_{общ} = 2 \cdot (S_{бок} + S_{дна}) = 2 \cdot (476\pi + 100\pi) = 2 \cdot 576\pi = 1152\pi \text{ см}^2$.

3. Перевод площади в квадратные метры

Расход краски указан на 1 м$^2$, поэтому необходимо перевести вычисленную площадь из квадратных сантиметров в квадратные метры. Учитывая, что 1 м = 100 см, получаем 1 м$^2$ = $100^2$ см$^2$ = 10000 см$^2$.

$S_{общ} = \frac{1152\pi}{10000} = 0.1152\pi \text{ м}^2$.

4. Расчет необходимого количества краски

Согласно условию, на 1 м$^2$ поверхности требуется 200 г краски. Рассчитаем общую массу краски, необходимую для покраски ведра с обеих сторон:

$Масса_{краски} = S_{общ} \cdot 200 = 0.1152\pi \cdot 200 = 23.04\pi$ г.

Для получения численного ответа используем приближенное значение числа $\pi \approx 3.14$:

$Масса_{краски} \approx 23.04 \cdot 3.14 = 72.3456$ г.

Округлим результат до десятых:

$Масса_{краски} \approx 72.3$ г.

Ответ: для покраски ведра с обеих сторон потребуется приблизительно 72.3 г краски.

5. Диаметр основания конуса 6 м. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, перпендикулярной высоте конуса и проходящей через ее середину.

Дано:

Конус, у которого диаметр основания $D = 6$ м.

Сечение конуса проведено плоскостью, перпендикулярной высоте конуса и проходящей через ее середину.

Найти:

Площадь этого сечения ($S_{сеч}$).

Решение:

1. Найдем радиус основания конуса ($R$). Радиус равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3$ м.

2. Сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его высоте, представляет собой круг. Этот круг является основанием меньшего конуса, подобного исходному.

3. Рассмотрим осевое сечение конуса, которое является равнобедренным треугольником. Высота этого треугольника совпадает с высотой конуса $H$. Прямая, по которой секущая плоскость пересекает осевое сечение, является средней линией этого треугольника, так как она параллельна основанию (диаметру $D$) и проходит через середину высоты.

4. Из подобия треугольников (малого, отсеченного плоскостью, и исходного) следует, что отношение их высот равно отношению радиусов их оснований. Пусть $h$ – высота малого конуса, а $r$ – радиус его основания (то есть радиус сечения).

По условию, плоскость проходит через середину высоты, значит $h = \frac{H}{2}$.

Коэффициент подобия $k$ равен:

$k = \frac{h}{H} = \frac{r}{R}$

Подставим известное соотношение высот:

$\frac{H/2}{H} = \frac{r}{R} \implies \frac{1}{2} = \frac{r}{R}$

Отсюда находим радиус сечения $r$:

$r = \frac{R}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ м.

5. Теперь найдем площадь сечения $S_{сеч}$. Так как сечение является кругом с радиусом $r$, его площадь вычисляется по формуле:

$S_{сеч} = \pi r^2$

Подставим значение $r$:

$S_{сеч} = \pi \cdot (1.5)^2 = 2.25\pi$ м$^2$.

Ответ: $2.25\pi$ м$^2$.