Номер 5, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

5. Дан конус высотой $H$ и радиусом основания $R$. Как, не изменяя его высоты, изменить радиус основания конуса, чтобы удвоилась:

а) площадь его боковой поверхности;

б) площадь всей поверхности конуса?

а) Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R L$, где $R$ — радиус основания, а $L$ — длина образующей. Образующая, высота $H$ и радиус $R$ связаны по теореме Пифагора: $L = \sqrt{H^2 + R^2}$. Таким образом, исходная площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = \pi R \sqrt{H^2 + R^2}$.

Пусть новый радиус основания равен $R_1$, при этом высота $H$ остается неизменной. Новая площадь боковой поверхности будет равна $S'_{бок} = \pi R_1 \sqrt{H^2 + R_1^2}$. Согласно условию задачи, эта площадь должна быть вдвое больше исходной: $S'_{бок} = 2 S_{бок}$.

Составим уравнение:

$\pi R_1 \sqrt{H^2 + R_1^2} = 2 \pi R \sqrt{H^2 + R^2}$

Разделим обе части на $\pi$ и возведем в квадрат:

$R_1^2 (H^2 + R_1^2) = 4 R^2 (H^2 + R^2)$

$R_1^4 + H^2 R_1^2 = 4R^2H^2 + 4R^4$

$R_1^4 + H^2 R_1^2 - (4R^2H^2 + 4R^4) = 0$

Мы получили биквадратное уравнение относительно $R_1$. Сделаем замену $x = R_1^2$. Так как радиус не может быть отрицательным, $x > 0$.

$x^2 + H^2 x - (4R^2H^2 + 4R^4) = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$ с помощью формулы для корней:

$x = \frac{-H^2 \pm \sqrt{(H^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(4R^2H^2 + 4R^4))}}{2} = \frac{-H^2 \pm \sqrt{H^4 + 16R^2H^2 + 16R^4}}{2}$

Поскольку $x = R_1^2$ должен быть положительной величиной, мы выбираем корень со знаком «плюс».

$R_1^2 = \frac{-H^2 + \sqrt{H^4 + 16H^2R^2 + 16R^4}}{2}$

Следовательно, новый радиус $R_1$ равен:

$R_1 = \sqrt{\frac{-H^2 + \sqrt{H^4 + 16H^2R^2 + 16R^4}}{2}}$

Ответ: Радиус основания нужно изменить на значение $R_1 = \sqrt{\frac{-H^2 + \sqrt{H^4 + 16H^2R^2 + 16R^4}}{2}}$.

б) Площадь всей поверхности конуса ($S_{полн}$) равна сумме площади основания ($S_{осн} = \pi R^2$) и площади боковой поверхности ($S_{бок} = \pi R L$).

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi R \sqrt{H^2 + R^2} = \pi R(R + \sqrt{H^2 + R^2})$

Пусть новый радиус основания равен $R_2$, а высота $H$ не изменилась. Новая площадь полной поверхности будет $S'_{полн} = \pi R_2(R_2 + \sqrt{H^2 + R_2^2})$. По условию, $S'_{полн} = 2 S_{полн}$.

Запишем уравнение:

$\pi R_2(R_2 + \sqrt{H^2 + R_2^2}) = 2 \pi R(R + \sqrt{H^2 + R^2})$

Сократим на $\pi$ и для удобства обозначим правую часть как $C = 2R(R + \sqrt{H^2 + R^2})$:

$R_2^2 + R_2\sqrt{H^2 + R_2^2} = C$

Изолируем член с корнем и возведем обе части в квадрат:

$R_2\sqrt{H^2 + R_2^2} = C - R_2^2$

$R_2^2(H^2 + R_2^2) = (C - R_2^2)^2$

$H^2 R_2^2 + R_2^4 = C^2 - 2CR_2^2 + R_2^4$

Упростим, сократив $R_2^4$:

$H^2 R_2^2 = C^2 - 2CR_2^2$

$H^2 R_2^2 + 2CR_2^2 = C^2$

$R_2^2(H^2 + 2C) = C^2$

$R_2^2 = \frac{C^2}{H^2 + 2C}$

Теперь подставим обратно выражение для $C$:

$R_2^2 = \frac{(2R(R + \sqrt{H^2 + R^2}))^2}{H^2 + 2(2R(R + \sqrt{H^2 + R^2}))} = \frac{4R^2(R + \sqrt{H^2 + R^2})^2}{H^2 + 4R^2 + 4R\sqrt{H^2 + R^2}}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим искомый радиус $R_2$:

$R_2 = \frac{2R(R + \sqrt{H^2 + R^2})}{\sqrt{H^2 + 4R^2 + 4R\sqrt{H^2 + R^2}}}$

Ответ: Радиус основания нужно изменить на значение $R_2 = \frac{2R(R + \sqrt{H^2 + R^2})}{\sqrt{H^2 + 4R^2 + 4R\sqrt{H^2 + R^2}}}$.