Страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

1. Диаметр основания цилиндра равен 12 см, высота – 20 см. Рассмотрим точки на боковой поверхности, удаленные от центра нижнего основания на расстояние 10 см. На какой высоте они находятся? Сколько их? Какую фигуру они образуют?

Даны параметры цилиндра:
Диаметр основания $d = 12$ см.
Высота цилиндра $H = 20$ см.
Расстояние от центра нижнего основания до искомых точек на боковой поверхности $L = 10$ см.

Сначала найдем радиус основания цилиндра:
$r = d / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Рассмотрим произвольную точку $P$ на боковой поверхности цилиндра, которая удалена от центра нижнего основания $O$ на расстояние $L = 10$ см. Пусть $h$ — высота точки $P$ над нижним основанием. Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания $r$ и высота $h$, то гипотенузой будет как раз расстояние $L$ от центра нижнего основания до точки $P$ на боковой поверхности.

Это можно представить на схеме осевого сечения, где $O$ — центр основания, $A$ — точка на оси цилиндра на высоте $h$, а $P$ — точка на боковой поверхности. Треугольник $OAP$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.

На какой высоте они находятся?

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $OAP$: $OA^2 + AP^2 = OP^2$.
Подставим известные значения:
$h^2 + r^2 = L^2$
$h^2 + 6^2 = 10^2$
$h^2 + 36 = 100$
$h^2 = 100 - 36$
$h^2 = 64$
$h = \sqrt{64} = 8$ см.
Найденная высота $h=8$ см меньше общей высоты цилиндра $H=20$ см, значит, такие точки действительно существуют на боковой поверхности данного цилиндра.
Ответ: Точки находятся на высоте 8 см от нижнего основания.

Сколько их?

Условию удовлетворяют все точки боковой поверхности, находящиеся на высоте $h=8$ см. Множество таких точек образует линию на поверхности цилиндра. Поскольку эта линия является окружностью, а окружность состоит из бесконечного числа точек, то искомых точек бесконечно много.
Ответ: Таких точек бесконечно много.

Какую фигуру они образуют?

Совокупность всех точек, расположенных на боковой поверхности цилиндра на одинаковом расстоянии от основания, образует окружность. Эта окружность лежит в плоскости, параллельной основаниям цилиндра, и находится на высоте $h = 8$ см. Радиус этой окружности равен радиусу основания цилиндра, то есть $r = 6$ см, а ее центр лежит на оси цилиндра.
Ответ: Эти точки образуют окружность радиусом 6 см, которая расположена на высоте 8 см от нижнего основания и параллельна ему.

2. Основание цилиндрической бочки радиусом 0,6 м и высотой 1,6 м находится на полу в помещении высотой 1,9 м. Можно ли выкатить бочку из этого помещения?

Для того чтобы определить, можно ли выкатить бочку из помещения, необходимо проверить, не заденет ли она потолок при наклоне. Когда бочку катят, ее приходится наклонять. Максимальная высота, которую бочка будет занимать в пространстве при наклоне, равна диагонали ее осевого сечения.

Осевое сечение цилиндрической бочки представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника равны высоте бочки и ее диаметру.

Дано:

• Радиус бочки, $r = 0,6$ м.
• Высота бочки, $h = 1,6$ м.
• Высота помещения, $H = 1,9$ м.

1. Найдем диаметр основания бочки.

Диаметр $d$ в два раза больше радиуса $r$:

$d = 2 \cdot r = 2 \cdot 0,6 = 1,2$ м.

2. Найдем диагональ осевого сечения бочки.

Осевое сечение – это прямоугольник со сторонами $h = 1,6$ м и $d = 1,2$ м. Его диагональ $D$ можно найти по теореме Пифагора:

$D^2 = h^2 + d^2$

$D = \sqrt{h^2 + d^2} = \sqrt{(1,6)^2 + (1,2)^2}$

$D = \sqrt{2,56 + 1,44} = \sqrt{4,00} = 2,0$ м.

3. Сравним максимальную высоту бочки при наклоне с высотой помещения.

Максимальная высота, которую занимает бочка, равна длине ее диагонали $D = 2,0$ м. Высота помещения $H = 1,9$ м.

Сравниваем полученные значения:

$2,0 \text{ м} > 1,9 \text{ м}$

Так как диагональ осевого сечения бочки больше высоты помещения, бочка не пройдет по высоте, если ее наклонять. Следовательно, выкатить ее из помещения невозможно.

Ответ: нет, выкатить бочку из этого помещения нельзя.

3. Радиус цилиндра 3 см, а высота 8 см. Найдите длину диагонали осевого сечения цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, который проходит через ось цилиндра. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра и диаметру его основания.

По условию задачи, радиус цилиндра $r = 3$ см, а высота $h = 8$ см.

1. Нахождение размеров осевого сечения

Одна сторона прямоугольника, являющегося осевым сечением, равна высоте цилиндра: $h = 8$ см.

Вторая сторона этого прямоугольника равна диаметру основания цилиндра. Диаметр $d$ в два раза больше радиуса $r$:

$d = 2 \cdot r = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Таким образом, мы имеем прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см.

2. Вычисление длины диагонали осевого сечения

Диагональ $D$ этого прямоугольника является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат стороны прямоугольника (диаметр $d$ и высота $h$). Для нахождения длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора.

Формула по теореме Пифагора:

$D^2 = d^2 + h^2$

Подставим значения сторон в формулу:

$D^2 = 6^2 + 8^2$

$D^2 = 36 + 64$

$D^2 = 100$

Чтобы найти длину диагонали $D$, извлечем квадратный корень из 100:

$D = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

4. Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которого $196 \text{ см}^2$. Найдите площадь основания цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, который проходит через ось вращения цилиндра. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$.

Согласно условию задачи, осевое сечение является квадратом. Это значит, что все его стороны равны, следовательно, высота цилиндра равна диаметру его основания: $h = d$.

Площадь этого квадрата $S_{сечения}$ известна и равна $196 \text{ см}^2$. Площадь квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = a^2$. В данном случае стороной квадрата является диаметр основания $d$.

1. Найдем сторону квадрата, которая равна диаметру основания цилиндра:
$S_{сечения} = d^2 = 196 \text{ см}^2$
$d = \sqrt{196} = 14 \text{ см}$

2. Найдем радиус основания $R$. Радиус — это половина диаметра:
$R = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ см}$

3. Найдем площадь основания цилиндра. Основание цилиндра — это круг, его площадь $S_{основания}$ вычисляется по формуле $S_{основания} = \pi R^2$. Подставим найденное значение радиуса:
$S_{основания} = \pi \cdot (7 \text{ см})^2 = 49\pi \text{ см}^2$

Ответ: $49\pi \text{ см}^2$.

5. Радиус цилиндра 6 см, диагональ осевого сечения 13 см. Найдите:

а) высоту цилиндра;

б) площадь осевого сечения;

в) площадь боковой поверхности;

г) площадь поверхности цилиндра.

По условию задачи, радиус цилиндра $r = 6$ см, а диагональ его осевого сечения $d = 13$ см.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника и является диагональю осевого сечения.

Сначала найдем диаметр основания цилиндра:

$D = 2r = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ниже представлена схема осевого сечения:

а) высоту цилиндра

Высота цилиндра $h$, диаметр основания $D$ и диагональ осевого сечения $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $d$ является гипотенузой, а $h$ и $D$ — катетами. По теореме Пифагора:

$h^2 + D^2 = d^2$

Подставим известные значения, чтобы найти высоту $h$:

$h^2 + 12^2 = 13^2$

$h^2 + 144 = 169$

$h^2 = 169 - 144$

$h^2 = 25$

$h = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: высота цилиндра равна 5 см.

б) площадь осевого сечения

Площадь осевого сечения $S_{сеч}$ — это площадь прямоугольника со сторонами $h$ и $D$.

$S_{сеч} = D \cdot h$

Подставим значения, найденные ранее:

$S_{сеч} = 12 \cdot 5 = 60$ см².

Ответ: площадь осевого сечения равна 60 см².

в) площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ вычисляется по формуле:

$S_{бок} = 2 \pi r h$

Подставим известные значения $r = 6$ см и $h = 5$ см:

$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 6 \cdot 5 = 60 \pi$ см².

Ответ: площадь боковой поверхности равна $60 \pi$ см².

г) площадь поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований (двух кругов).

Сначала найдем площадь одного основания $S_{осн}$:

$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36 \pi$ см².

Теперь вычислим полную площадь поверхности:

$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

$S_{полн} = 60 \pi + 2 \cdot 36 \pi = 60 \pi + 72 \pi = 132 \pi$ см².

Ответ: площадь поверхности цилиндра равна $132 \pi$ см².

6. Стороны прямоугольника 4 см и 5 см. Найдите площадь поверхности тела, полученного при вращении этого прямоугольника вокруг меньшей стороны.

При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон образуется тело вращения, которое называется цилиндром. В данном случае вращение происходит вокруг меньшей стороны.

Меньшая сторона прямоугольника равна 4 см. Она становится высотой цилиндра $h$.

Большая сторона прямоугольника равна 5 см. Она становится радиусом основания цилиндра $r$.

Итак, мы имеем цилиндр со следующими параметрами:

Высота $h = 4$ см.

Радиус основания $r = 5$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{\text{полн}}$) складывается из площади боковой поверхности ($S_{\text{бок}}$) и площадей двух оснований ($2S_{\text{осн}}$).

Формула для нахождения площади полной поверхности цилиндра:

$S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:

$S_{\text{бок}} = 2\pi rh$

Подставим наши значения:

$S_{\text{бок}} = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 4 = 40\pi$ см².

Площадь одного основания (круга) вычисляется по формуле:

$S_{\text{осн}} = \pi r^2$

Подставим наше значение радиуса:

$S_{\text{осн}} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$ см².

Теперь найдем площадь полной поверхности, сложив площадь боковой поверхности и удвоенную площадь основания:

$S_{\text{полн}} = 40\pi + 2 \cdot 25\pi = 40\pi + 50\pi = 90\pi$ см².

Ответ: $90\pi \text{ см}^2$.

7. Площадь поверхности и площадь боковой поверхности цилиндра равны $50 \text{ см}^2$ и $30 \text{ см}^2$. Найдите радиус и высоту цилиндра.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а высоту как $h$.

Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($2S_{осн}$).
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$

Согласно условию задачи, $S_{полн} = 50$ см² и $S_{бок} = 30$ см².
Найдем площадь двух оснований, вычтя из площади полной поверхности площадь боковой поверхности:
$2S_{осн} = S_{полн} - S_{бок} = 50 - 30 = 20$ см²

Следовательно, площадь одного основания равна:
$S_{осн} = \frac{20}{2} = 10$ см²

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$. Отсюда мы можем найти радиус $r$:
$\pi r^2 = 10$
$r^2 = \frac{10}{\pi}$
$r = \sqrt{\frac{10}{\pi}}$ см

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = 2\pi rh$. Отсюда мы можем найти высоту $h$.
У нас есть два уравнения с двумя неизвестными:
1) $\pi r^2 = 10$
2) $2\pi rh = 30$
Чтобы найти соотношение между высотой и радиусом, разделим второе уравнение на первое:
$\frac{2\pi rh}{\pi r^2} = \frac{30}{10}$
$\frac{2h}{r} = 3$
$2h = 3r \implies h = \frac{3}{2}r$

Теперь подставим найденное значение радиуса $r = \sqrt{\frac{10}{\pi}}$ в полученное выражение для высоты:
$h = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{10}{\pi}}$ см

Ответ: радиус цилиндра равен $\sqrt{\frac{10}{\pi}}$ см, высота цилиндра равна $\frac{3}{2}\sqrt{\frac{10}{\pi}}$ см.