Страница 33 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

1. Сколько граней и рёбер имеют куб и тетраэдр? Сколько рёбер сходятся у них в одной вершине?

Сколько граней и рёбер имеют куб и тетраэдр?

Куб
Куб (также называемый правильным гексаэдром) — это трёхмерная фигура, ограниченная шестью одинаковыми квадратными гранями.

Он имеет 6 граней (верхняя, нижняя и четыре боковые).
Рёбра — это линии пересечения граней. У куба 12 рёбер (4 на верхней грани, 4 на нижней и 4 боковых ребра).

Тетраэдр
Тетраэдр — это многогранник, состоящий из четырех треугольных граней. Его также называют треугольной пирамидой.

Он имеет 4 грани (одна грань в основании и три боковые).
У тетраэдра 6 рёбер (3 ребра в основании и 3 боковых ребра, соединяющих вершины основания с вершиной пирамиды).
Ответ: куб имеет 6 граней и 12 рёбер; тетраэдр имеет 4 грани и 6 рёбер.

Сколько рёбер сходятся у них в одной вершине?

Вершина — это точка, в которой сходятся рёбра многогранника.
У куба в каждой вершине сходятся 3 ребра. Всего у куба 8 вершин.
У тетраэдра в каждой вершине также сходятся 3 ребра. Всего у тетраэдра 4 вершины.
Ответ: и у куба, и у тетраэдра в одной вершине сходятся 3 ребра.

2. Какими фигурами могут быть грани правильных многогранников?

Правильный многогранник (также называемый Платоновым телом) — это выпуклый многогранник, который удовлетворяет двум условиям:
1. Все его грани являются равными (конгруэнтными) правильными многоугольниками.
2. В каждой его вершине сходится одинаковое число граней.

Для того чтобы из плоских многоугольников можно было составить выпуклый многогранный угол в вершине, необходимо, чтобы сумма плоских углов этих многоугольников, сходящихся в одной вершине, была меньше $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан). Если сумма равна $360^\circ$, то грани расположатся в одной плоскости (создадут плоскую мозаику). Если больше $360^\circ$, то они не смогут сойтись в одной вершине без наложения.

Пусть грань — это правильный $n$-угольник, а в каждой вершине сходится $k$ граней. Минимальное число граней, образующих вершину, равно 3, то есть $k \ge 3$.

Величина внутреннего угла $\alpha_n$ правильного $n$-угольника вычисляется по формуле:
$\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Основное условие для существования правильного многогранника можно записать в виде неравенства:
$k \cdot \alpha_n < 360^\circ$

Рассмотрим возможные типы граней (правильные многоугольники) по порядку:

Равносторонний треугольник ($n=3$)
Угол равен $\alpha_3 = \frac{(3-2) \cdot 180^\circ}{3} = 60^\circ$.
Подставляем в неравенство: $k \cdot 60^\circ < 360^\circ$, откуда $k < 6$.
С учётом того, что $k \ge 3$, возможны следующие случаи:
• $k=3$: в вершине сходятся 3 треугольника ($3 \cdot 60^\circ = 180^\circ < 360^\circ$). Это тетраэдр.
• $k=4$: в вершине сходятся 4 треугольника ($4 \cdot 60^\circ = 240^\circ < 360^\circ$). Это октаэдр.
• $k=5$: в вершине сходятся 5 треугольников ($5 \cdot 60^\circ = 300^\circ < 360^\circ$). Это икосаэдр.
Таким образом, равносторонний треугольник может быть гранью правильного многогранника.

Квадрат ($n=4$)
Угол равен $\alpha_4 = \frac{(4-2) \cdot 180^\circ}{4} = 90^\circ$.
Подставляем в неравенство: $k \cdot 90^\circ < 360^\circ$, откуда $k < 4$.
Единственное возможное целое значение — $k=3$.
• $k=3$: в вершине сходятся 3 квадрата ($3 \cdot 90^\circ = 270^\circ < 360^\circ$). Это куб (гексаэдр).
Таким образом, квадрат может быть гранью правильного многогранника.

Правильный пятиугольник ($n=5$)
Угол равен $\alpha_5 = \frac{(5-2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$.
Подставляем в неравенство: $k \cdot 108^\circ < 360^\circ$, откуда $k < \frac{360}{108} \approx 3.33$.
Единственное возможное целое значение — $k=3$.
• $k=3$: в вершине сходятся 3 правильных пятиугольника ($3 \cdot 108^\circ = 324^\circ < 360^\circ$). Это додекаэдр.
Таким образом, правильный пятиугольник может быть гранью правильного многогранника.

Правильный шестиугольник ($n=6$)
Угол равен $\alpha_6 = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.
Подставляем в неравенство: $k \cdot 120^\circ < 360^\circ$, откуда $k < 3$.
Поскольку $k$ должно быть целым числом и $k \ge 3$, решений нет. Три шестиугольника, сходящиеся в одной точке, образуют сумму углов $3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$, что приводит к плоскому покрытию (паркету), а не к объемной фигуре.

Правильные многоугольники с числом сторон $n > 6$
Внутренний угол правильного $n$-угольника $\alpha_n$ увеличивается с ростом $n$. Уже для шестиугольника угол равен $120^\circ$. Для любого многоугольника с $n > 6$ угол будет еще больше.
Следовательно, сумма даже трех таких углов ($k=3$ — минимально возможное значение) будет больше $360^\circ$:
$3 \cdot \alpha_n > 3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$.
Это означает, что правильные многоугольники с 6 или более сторонами не могут быть гранями правильного многогранника.

Из проведенного анализа следует, что гранями правильных многогранников могут быть только три типа фигур.

Ответ: Гранями правильных многогранников могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и правильные пятиугольники.

3. Могут ли в одной вершине правильного многогранника сходиться два, три, четыре, пять ребер?

Для ответа на этот вопрос необходимо использовать свойство выпуклых многогранников: сумма плоских углов граней, сходящихся в одной вершине, должна быть меньше $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан). Если сумма равна $360^\circ$, то грани образуют плоскую поверхность.

Правильный многогранник (или Платоново тело) состоит из одинаковых правильных $n$-угольников, и в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер, которое мы обозначим как $k$.

Внутренний угол правильного $n$-угольника вычисляется по формуле: $\alpha_n = \frac{180^\circ(n-2)}{n}$.

Таким образом, для существования правильного многогранника должно выполняться основное условие: $k \cdot \alpha_n < 360^\circ$. Кроме того, для образования пространственного угла в вершине необходимо, чтобы сходилось не менее трёх граней, то есть $k \ge 3$.

Два ребра

В одной вершине многогранника не могут сходиться только два ребра. Это следует из того, что для образования вершины необходимо как минимум три грани, которые образуют пространственный угол. Две грани, встречаясь, образуют лишь ребро (двугранный угол). Таким образом, условие $k \ge 3$ не выполняется.

Ответ: Нет, не могут.

Три ребра

Рассмотрим случай, когда в вершине сходится три ребра ($k=3$). Условие принимает вид: $3 \cdot \alpha_n < 360^\circ$, что равносильно $\alpha_n < 120^\circ$.

Подставим формулу для угла правильного $n$-угольника и решим неравенство относительно $n$:

$\frac{180^\circ(n-2)}{n} < 120^\circ \implies 3(n-2) < 2n \implies 3n - 6 < 2n \implies n < 6$.

Так как грань должна быть многоугольником ($n \ge 3$), то возможные значения для $n$ — это 3, 4 и 5.

• При $n=3$ (грань — правильный треугольник, $\alpha_3 = 60^\circ$): $3 \cdot 60^\circ = 180^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это тетраэдр.
• При $n=4$ (грань — квадрат, $\alpha_4 = 90^\circ$): $3 \cdot 90^\circ = 270^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это куб (гексаэдр).
• При $n=5$ (грань — правильный пятиугольник, $\alpha_5 = 108^\circ$): $3 \cdot 108^\circ = 324^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это додекаэдр.

Ответ: Да, могут.

Четыре ребра

Рассмотрим случай, когда в вершине сходится четыре ребра ($k=4$). Условие: $4 \cdot \alpha_n < 360^\circ$, или $\alpha_n < 90^\circ$.

Решим неравенство относительно $n$:

$\frac{180^\circ(n-2)}{n} < 90^\circ \implies 2(n-2) < n \implies 2n - 4 < n \implies n < 4$.

С учётом условия $n \ge 3$, единственно возможное целое значение — это $n=3$.

• При $n=3$ (грань — правильный треугольник, $\alpha_3 = 60^\circ$): $4 \cdot 60^\circ = 240^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это октаэдр.

Ответ: Да, могут.

Пять ребер

Рассмотрим случай, когда в вершине сходится пять ребер ($k=5$). Условие: $5 \cdot \alpha_n < 360^\circ$, или $\alpha_n < 72^\circ$.

Решим неравенство относительно $n$:

$\frac{180^\circ(n-2)}{n} < 72^\circ \implies 5(n-2) < 2n \implies 5n - 10 < 2n \implies 3n < 10 \implies n < 10/3$.

Так как $n \ge 3$ и $n$ — целое число, то единственное возможное значение — это $n=3$.

• При $n=3$ (грань — правильный треугольник, $\alpha_3 = 60^\circ$): $5 \cdot 60^\circ = 300^\circ < 360^\circ$. Такой многогранник существует — это икосаэдр.

Ответ: Да, могут.