Страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

19. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна $36 \text{ см}^2$, боковое ребро — $5 \text{ см}$. Найдите апофему и площадь боковой поверхности пирамиды.

Для решения задачи представим правильную четырехугольную пирамиду и ее элементы на схеме. Красным цветом выделен прямоугольный треугольник, используемый для нахождения апофемы.

Апофема

Сначала найдем сторону основания пирамиды. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Пусть его сторона равна $b$. Площадь основания $S_{осн}$ дана и равна 36 см².
$S_{осн} = b^2 \implies b = \sqrt{S_{осн}} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.
Апофема ($a$) — это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды. Боковая грань является равнобедренным треугольником с основанием $b=6$ см и боковыми сторонами, равными боковому ребру пирамиды $l=5$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой ($a$), боковым ребром ($l$) и половиной стороны основания ($b/2$). В этом треугольнике боковое ребро является гипотенузой, а апофема и половина стороны основания — катетами.
$l = 5 \text{ см}$ (гипотенуза)
$b/2 = 6/2 = 3 \text{ см}$ (катет)
По теореме Пифагора: $l^2 = a^2 + (b/2)^2$.
$5^2 = a^2 + 3^2$
$25 = a^2 + 9$
$a^2 = 25 - 9 = 16$
$a = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$.
Ответ: 4 см.

Площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) правильной пирамиды вычисляется по формуле:
$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot a$, где $P$ — периметр основания, а $a$ — апофема.
Периметр основания (квадрата со стороной $b=6$ см) равен:
$P = 4 \cdot b = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$.
Апофему мы нашли в предыдущем пункте: $a = 4 \text{ см}$.
Подставим значения в формулу площади:
$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48 \text{ см}^2$.
Ответ: 48 см².

20. Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна 84 $cm^2$, а площадь ее основания — 36 $dm^2$. Найдите:

1) сторону основания;

2) апофему;

3) боковое ребро пирамиды.

В условии задачи, вероятно, допущена опечатка. Площадь основания $S_{осн} = 36 \text{ дм}^2 = 3600 \text{ см}^2$ не может быть больше полной поверхности $S_{полн} = 84 \text{ см}^2$. Поэтому будем решать задачу в предположении, что площадь основания равна $S_{осн} = 36 \text{ см}^2$.

1) сторону основания

Поскольку пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2$, где $a$ – длина стороны основания. Используя данное значение площади основания, находим сторону:

$a^2 = 36 \text{ см}^2$

$a = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$.

Ответ: сторона основания равна 6 см.

2) апофему

Полная поверхность пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$): $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{полн} - S_{осн} = 84 \text{ см}^2 - 36 \text{ см}^2 = 48 \text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды также вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l$, где $P$ – периметр основания, а $l$ – апофема (высота боковой грани).

Периметр основания (квадрата) равен $P = 4a = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}$.

Теперь найдем апофему $l$:

$48 = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot l$

$48 = 12 \cdot l$

$l = \frac{48}{12} = 4 \text{ см}$.

Ответ: апофема равна 4 см.

3) боковое ребро пирамиды

Боковое ребро ($b$), апофема ($l$) и половина стороны основания ($\frac{a}{2}$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро является гипотенузой, а апофема и половина стороны основания — катетами.

Применим теорему Пифагора: $b^2 = l^2 + (\frac{a}{2})^2$.

Подставим известные значения: $l = 4$ см и $a = 6$ см (соответственно, $\frac{a}{2} = 3$ см).

$b^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$

$b = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

Ответ: боковое ребро пирамиды равно 5 см.

21. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10 дм, а боковое ребро – 13 дм. Через середину ее высоты проведена секущая плоскость параллельно основанию пирамиды. Найдите площадь сечения.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина.
Сторона основания $a = AB = 10$ дм.
Боковое ребро $l = SA = 13$ дм.
Секущая плоскость $A'B'C'D'$ проведена через середину высоты $SO$ пирамиды параллельно основанию $ABCD$.
Сечение, образованное плоскостью, параллельной основанию пирамиды, является многоугольником, подобным основанию. Так как в основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, то сечение $A'B'C'D'$ также является квадратом.
Эта секущая плоскость отсекает от исходной пирамиды $SABCD$ меньшую пирамиду $SA'B'C'D'$, которая подобна исходной. Коэффициент подобия $k$ этих пирамид равен отношению их высот.
По условию задачи, секущая плоскость проходит через середину высоты $SO$. Обозначим точку пересечения плоскости с высотой как $O'$. Тогда высота меньшей пирамиды $SO'$ равна половине высоты исходной пирамиды $SO$.
Следовательно, коэффициент подобия $k$ равен: $k = \frac{SO'}{SO} = \frac{1}{2}$
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2$
Сначала найдем площадь основания $S_{осн}$ исходной пирамиды. Так как основание — это квадрат со стороной $a = 10$ дм, его площадь равна: $S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100$ дм²
Теперь, используя соотношение площадей, найдем площадь сечения $S_{сеч}$: $S_{сеч} = S_{осн} \cdot k^2 = 100 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 100 \cdot \frac{1}{4} = 25$ дм²
Следует отметить, что информация о длине бокового ребра (13 дм) является избыточной для решения этой задачи, так как положение секущей плоскости задано относительно высоты.
Ответ: 25 дм².

22. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 12 дм, а высота пирамиды – 10 дм. Через середину бокового ребра пирамиды проведена секущая плоскость параллельно основанию. Найдите площадь сечения.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$. Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$. По условию, сторона основания $a = AB = BC = AC = 12$ дм, а высота пирамиды $SO = H = 10$ дм, где $O$ — центр треугольника $ABC$.

Через середину бокового ребра, например, точку $M$ на ребре $SA$, проведена секущая плоскость, параллельная основанию $ABC$. Эта плоскость отсекает от исходной пирамиды меньшую пирамиду $SA_1B_1C_1$, подобную пирамиде $SABC$. Сечением является треугольник $A_1B_1C_1$.

Так как секущая плоскость параллельна основанию, то треугольник сечения $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику основания $ABC$. Следовательно, сечение также является равносторонним треугольником.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ для данных пирамид можно найти как отношение их высот или длин соответствующих ребер.

Поскольку секущая плоскость проходит через середину бокового ребра $SA$, то точка $M$ делит ребро $SA$ пополам: $SM = \frac{1}{2}SA$. Вершина $S$ является общей для обеих пирамид, поэтому коэффициент подобия $k$ равен:$k = \frac{SM}{SA} = \frac{1}{2}$

Площадь основания $S_{осн}$ (равностороннего треугольника $ABC$ со стороной $a = 12$ дм) вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ дм².

Площадь сечения $S_{сеч}$ связана с площадью основания через квадрат коэффициента подобия:$\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2$$S_{сеч} = S_{осн} \cdot k^2 = 36\sqrt{3} \cdot (\frac{1}{2})^2 = 36\sqrt{3} \cdot \frac{1}{4} = 9\sqrt{3}$ дм².

Заметим, что значение высоты пирамиды ($10$ дм) является избыточным для решения этой задачи.

Ответ: $9\sqrt{3}$ дм².

23. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 10 дм, а боковое ребро с плоскостью ее основания образует угол $45^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где ABC – равносторонний треугольник в основании, а S – вершина пирамиды. Сторона основания $a = AB = BC = CA = 10$ дм.

Угол между боковым ребром (например, SC) и плоскостью основания – это угол между ребром SC и его проекцией OC на плоскость основания, где O – центр треугольника ABC (и основание высоты пирамиды SO). По условию, $∠SCO = 45°$.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a$, где $P_{осн}$ – периметр основания, а $h_a$ – апофема (высота боковой грани).

Периметр основания: $P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 10 = 30$ дм. Апофема – это высота SM, проведенная в боковой грани SBC к стороне основания BC.

Для нахождения апофемы SM рассмотрим прямоугольный треугольник SOM. По теореме Пифагора $SM^2 = SO^2 + OM^2$. Нам нужно найти высоту пирамиды SO и отрезок OM.

1. Найдем высоту пирамиды SO. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC. Катет SO – высота пирамиды. Катет OC – это радиус R окружности, описанной около основания ABC. Для равностороннего треугольника со стороной $a$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. $OC = R = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ дм. В треугольнике SOC нам известен угол $∠SCO = 45°$. Так как треугольник прямоугольный, то и $∠OSC = 45°$, следовательно, треугольник SOC – равнобедренный. Значит, $SO = OC = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ дм.

2. Найдем отрезок OM. Отрезок OM – это радиус r окружности, вписанной в основание ABC. Для равностороннего треугольника со стороной $a$: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. $OM = r = \frac{10}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ дм.

3. Найдем апофему SM. В прямоугольном треугольнике SOM: $SM^2 = SO^2 + OM^2 = (\frac{10\sqrt{3}}{3})^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2$ $SM^2 = \frac{100 \cdot 3}{9} + \frac{25 \cdot 3}{9} = \frac{300}{9} + \frac{75}{9} = \frac{375}{9}$ $SM = \sqrt{\frac{375}{9}} = \frac{\sqrt{375}}{3} = \frac{\sqrt{25 \cdot 15}}{3} = \frac{5\sqrt{15}}{3}$ дм. Итак, апофема $h_a = \frac{5\sqrt{15}}{3}$ дм.

4. Вычислим площадь боковой поверхности. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{5\sqrt{15}}{3}$ $S_{бок} = 15 \cdot \frac{5\sqrt{15}}{3} = 5 \cdot 5\sqrt{15} = 25\sqrt{15}$ дм².

Ответ: $25\sqrt{15}$ дм².

24. Высота пирамиды равна 12 м, площадь основания – 576 $м^2$. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 64 $м^2$?

Пусть $H$ — высота исходной пирамиды, а $S$ — площадь её основания. Согласно условию задачи, $H = 12$ м и $S = 576$ м².

Сечение, проведённое параллельно основанию, отсекает от исходной пирамиды новую, меньшую пирамиду, которая подобна исходной. Обозначим высоту этой меньшей пирамиды (от вершины до сечения) как $h_1$, а площадь её основания (т.е. площадь сечения) как $S_1$. По условию, $S_1 = 64$ м².

Расстояние от основания до сечения, которое нам нужно найти, обозначим как $d$. Это расстояние можно вычислить как разность высоты всей пирамиды и высоты меньшей пирамиды: $d = H - h_1$.

Для подобных тел отношение их площадей поверхностей (в данном случае, площадей оснований) равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициентом подобия является отношение соответствующих линейных размеров, например, высот. Таким образом, справедливо следующее соотношение:

$ \frac{S_1}{S} = \left(\frac{h_1}{H}\right)^2 $

Подставим известные значения в эту формулу для нахождения высоты $h_1$:

$ \frac{64}{576} = \left(\frac{h_1}{12}\right)^2 $

Упростим дробь в левой части. Можно заметить, что $64 = 8^2$ и $576 = 24^2$:

$ \frac{64}{576} = \frac{8^2}{24^2} = \left(\frac{8}{24}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} $

Уравнение принимает вид:

$ \frac{1}{9} = \left(\frac{h_1}{12}\right)^2 $

Извлечём квадратный корень из обеих частей. Так как высота — величина положительная, рассматриваем только арифметический корень:

$ \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{h_1}{12} $

$ \frac{1}{3} = \frac{h_1}{12} $

Теперь найдём высоту меньшей пирамиды $h_1$:

$ h_1 = \frac{12 \cdot 1}{3} = 4 $ м.

Это расстояние от вершины пирамиды до плоскости сечения. Чтобы найти искомое расстояние от основания до сечения ($d$), вычтем $h_1$ из полной высоты $H$:

$ d = H - h_1 = 12 - 4 = 8 $ м.

Ответ: сечение находится на расстоянии 8 м от основания.

25. Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 см и 8 см; высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 3 см. Найдите площади диагональных сечений.

По условию задачи, основанием пирамиды $SABCD$ является ромб $ABCD$ с диагоналями $d_1$ и $d_2$. Высота пирамиды $SO$ проходит через точку пересечения диагоналей $O$ и равна $H$.

Дано:

Диагональ $AC = d_1 = 8$ см.

Диагональ $BD = d_2 = 6$ см.

Высота пирамиды $SO = H = 3$ см.

Диагональные сечения пирамиды – это треугольники, образованные двумя боковыми ребрами, проходящими через вершины одной диагонали основания, и самой этой диагональю. В нашем случае это треугольники $\triangle SAC$ и $\triangle SBD$.

Площадь первого диагонального сечения

Первое диагональное сечение – это треугольник $\triangle SAC$. Его основанием является диагональ ромба $AC = 8$ см. Поскольку высота пирамиды $SO$ опущена в точку пересечения диагоналей $O$, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и диагонали $AC$. Следовательно, $SO$ является высотой треугольника $\triangle SAC$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – основание, $h$ – высота.

Площадь сечения $\triangle SAC$ равна:

$S_1 = S_{\triangle SAC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

Площадь второго диагонального сечения

Второе диагональное сечение – это треугольник $\triangle SBD$. Его основанием является диагональ ромба $BD = 6$ см. Высотой этого треугольника также является высота пирамиды $SO=3$ см, так как $SO \perp BD$.

Площадь сечения $\triangle SBD$ равна:

$S_2 = S_{\triangle SBD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 9 \text{ см}^2$.

Ответ: площади диагональных сечений равны 12 см² и 9 см².

26. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площади диагональных сечений.

Пусть дана правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$ с вершиной $S$ и центром основания $O$.

По условию, сторона основания (правильного шестиугольника) равна $a = 8$ см. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Угол между боковым ребром (например, $SA$) и плоскостью основания — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость (отрезком $OA$). Таким образом, $\angle SAO = 45^\circ$.

Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна основанию, поэтому треугольник $\triangle SOA$ прямоугольный. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности $R$ равен его стороне $a$. Следовательно, $OA = R = a = 8$ см.

Из $\triangle SOA$ найдем высоту пирамиды $H = SO$:

$H = SO = OA \cdot \tan(\angle SAO) = 8 \cdot \tan(45^\circ) = 8 \cdot 1 = 8$ см.

В правильном шестиугольнике есть два типа диагоналей: большие (проходящие через центр) и малые. Соответственно, существует два вида диагональных сечений.

Площадь большего диагонального сечения

Большее диагональное сечение проходит через большую диагональ основания, например, $AD$. Это сечение представляет собой треугольник $\triangle SAD$.

Длина большей диагонали $AD$ равна двум радиусам описанной окружности: $d_1 = AD = 2R = 2a = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Высота треугольника $\triangle SAD$, проведенная из вершины $S$ к основанию $AD$, совпадает с высотой пирамиды $SO$, так как $SO \perp AD$.

Площадь большего диагонального сечения $S_1$ равна:

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 8 = 64$ см$^2$.

Ответ: $64$ см$^2$.

Площадь меньшего диагонального сечения

Меньшее диагональное сечение проходит через меньшую диагональ основания, например, $AC$. Это сечение представляет собой треугольник $\triangle SAC$.

Длину меньшей диагонали $AC$ можно найти по теореме косинусов из треугольника $\triangle ABC$, где $AB=BC=a=8$ см, а $\angle ABC = 120^\circ$.

$d_2^2 = AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(120^\circ) = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 64 + 64 + 64 = 3 \cdot 64$.

$d_2 = AC = \sqrt{3 \cdot 64} = 8\sqrt{3}$ см.

Треугольник $\triangle SAC$ является равнобедренным ($SA = SC$). Найдем длину бокового ребра $SA$ из прямоугольного треугольника $\triangle SOA$:

$SA^2 = SO^2 + OA^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$.

$SA = \sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ см.

Для нахождения площади $\triangle SAC$ проведем в нем высоту $SK$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $AK = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle SKA$ по теореме Пифагора найдем высоту $SK$:

$SK^2 = SA^2 - AK^2 = (8\sqrt{2})^2 - (4\sqrt{3})^2 = 128 - 16 \cdot 3 = 128 - 48 = 80$.

$SK = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Площадь меньшего диагонального сечения $S_2$ равна:

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{5} = 16\sqrt{15}$ см$^2$.

Ответ: $16\sqrt{15}$ см$^2$.