Номер 21, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

21. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10 дм, а боковое ребро – 13 дм. Через середину ее высоты проведена секущая плоскость параллельно основанию пирамиды. Найдите площадь сечения.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадратное основание, а $S$ — вершина.
Сторона основания $a = AB = 10$ дм.
Боковое ребро $l = SA = 13$ дм.
Секущая плоскость $A'B'C'D'$ проведена через середину высоты $SO$ пирамиды параллельно основанию $ABCD$.
Сечение, образованное плоскостью, параллельной основанию пирамиды, является многоугольником, подобным основанию. Так как в основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, то сечение $A'B'C'D'$ также является квадратом.
Эта секущая плоскость отсекает от исходной пирамиды $SABCD$ меньшую пирамиду $SA'B'C'D'$, которая подобна исходной. Коэффициент подобия $k$ этих пирамид равен отношению их высот.
По условию задачи, секущая плоскость проходит через середину высоты $SO$. Обозначим точку пересечения плоскости с высотой как $O'$. Тогда высота меньшей пирамиды $SO'$ равна половине высоты исходной пирамиды $SO$.
Следовательно, коэффициент подобия $k$ равен: $k = \frac{SO'}{SO} = \frac{1}{2}$
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{сеч}}{S_{осн}} = k^2$
Сначала найдем площадь основания $S_{осн}$ исходной пирамиды. Так как основание — это квадрат со стороной $a = 10$ дм, его площадь равна: $S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100$ дм²
Теперь, используя соотношение площадей, найдем площадь сечения $S_{сеч}$: $S_{сеч} = S_{осн} \cdot k^2 = 100 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 100 \cdot \frac{1}{4} = 25$ дм²
Следует отметить, что информация о длине бокового ребра (13 дм) является избыточной для решения этой задачи, так как положение секущей плоскости задано относительно высоты.
Ответ: 25 дм².