Номер 15, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

15. В основании пирамиды лежит прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой $c$. Каждое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом $45^\circ$. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида SABC, в основании которой лежит прямоугольный равнобедренный треугольник ABC, а S — её вершина. По условию, гипотенуза $AB = c$, а катеты $AC = BC$. Угол при вершине C прямой, $\angle C = 90^\circ$.

1. Анализ основания пирамиды.

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.

Так как треугольник равнобедренный, $AC = BC$. Обозначим длину катета как $a$. Тогда $a^2 + a^2 = c^2$, что дает $2a^2 = c^2$, и отсюда $a^2 = \frac{c^2}{2}$.

Длина катета: $a = \sqrt{\frac{c^2}{2}} = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{c\sqrt{2}}{2}$.

Площадь основания пирамиды $S_{осн}$ равна площади треугольника ABC:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} a^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{c^2}{2} = \frac{c^2}{4}$.

2. Определение высоты и свойств пирамиды.

По условию, каждое боковое ребро пирамиды (SA, SB, SC) наклонено к плоскости основания под углом 45°. Это означает, что вершина пирамиды S проецируется в центр окружности, описанной около треугольника основания. Обозначим эту точку O. Таким образом, SO — высота пирамиды, которую мы обозначим H.

Центр описанной окружности для прямоугольного треугольника находится на середине его гипотенузы. Следовательно, точка O — середина гипотенузы AB.

Радиус описанной окружности R равен половине гипотенузы: $R = OA = OB = OC = \frac{c}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC ($\angle SOC = 90^\circ$, так как SO перпендикулярна плоскости основания). Угол наклона ребра SC к плоскости основания — это угол $\angle SCO$, и он равен 45°.

В треугольнике SOC катеты SO и OC равны, так как он является равнобедренным (углы при основании SC равны 45°).

Следовательно, высота пирамиды $H = SO = OC = R = \frac{c}{2}$.

3. Вычисление площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ — это сумма площадей трех боковых граней: $\triangle SAB$, $\triangle SAC$ и $\triangle SBC$.

Найдем длину бокового ребра, например, SC, из треугольника SOC:

$SC^2 = SO^2 + OC^2 = (\frac{c}{2})^2 + (\frac{c}{2})^2 = \frac{c^2}{4} + \frac{c^2}{4} = \frac{2c^2}{4} = \frac{c^2}{2}$.

$SC = \sqrt{\frac{c^2}{2}} = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{c\sqrt{2}}{2}$.

Так как все боковые ребра равны, $SA = SB = SC = \frac{c\sqrt{2}}{2}$.

• Грань SAC: Стороны треугольника равны $SA = \frac{c\sqrt{2}}{2}$, $SC = \frac{c\sqrt{2}}{2}$ и $AC = a = \frac{c\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $\triangle SAC$ — равносторонний.

  Площадь равностороннего треугольника: $S_{\triangle SAC} = \frac{(\text{сторона})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(\frac{c\sqrt{2}}{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{c^2 \cdot 2}{4}\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{c^2}{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{c^2\sqrt{3}}{8}$.

• Грань SBC: Аналогично, стороны $\triangle SBC$ равны $SB = \frac{c\sqrt{2}}{2}$, $SC = \frac{c\sqrt{2}}{2}$ и $BC = a = \frac{c\sqrt{2}}{2}$. Этот треугольник также является равносторонним и его площадь равна площади $\triangle SAC$.

  $S_{\triangle SBC} = \frac{c^2\sqrt{3}}{8}$.

• Грань SAB: Стороны $\triangle SAB$ равны $SA = \frac{c\sqrt{2}}{2}$, $SB = \frac{c\sqrt{2}}{2}$ и $AB = c$. Проверим, является ли он прямоугольным по теореме Пифагора:

  $SA^2 + SB^2 = (\frac{c\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{c\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{c^2}{2} + \frac{c^2}{2} = c^2 = AB^2$.

  Теорема выполняется, значит, $\triangle SAB$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине S.

  Его площадь: $S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot \frac{c\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{c\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2c^2}{4} = \frac{c^2}{4}$.

Теперь найдем общую площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAC} + S_{\triangle SBC} = \frac{c^2}{4} + \frac{c^2\sqrt{3}}{8} + \frac{c^2\sqrt{3}}{8} = \frac{c^2}{4} + \frac{2c^2\sqrt{3}}{8} = \frac{c^2}{4} + \frac{c^2\sqrt{3}}{4} = \frac{c^2(1+\sqrt{3})}{4}$.

4. Вычисление площади полной поверхности.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{c^2}{4} + \frac{c^2(1+\sqrt{3})}{4} = \frac{c^2 + c^2 + c^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2c^2 + c^2\sqrt{3}}{4} = \frac{c^2(2+\sqrt{3})}{4}$.

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна $S_{полн} = \frac{c^2(2+\sqrt{3})}{4}$.