Номер 11, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

Параграф 4. Пирамида. Глава I. Многогранники - номер 11, страница 27.

Условие rus.

11. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 6 см. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите высоту пирамиды.

Решение.

Решение 2 (rus).

Пусть дана пирамида SABC, в основании которой лежит равносторонний треугольник ABC, а S – её вершина. Сторона основания $a = 6$ см. Пусть SH – высота пирамиды, опущенная на плоскость основания (ABC), где H – основание высоты.

Угол между боковым ребром (например, SA) и плоскостью основания – это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра SA на плоскость (ABC) является отрезок HA. Таким образом, по условию, угол $\angle SAH = 45°$.

Аналогично, для рёбер SB и SC углы с плоскостью основания равны $\angle SBH = 45°$ и $\angle SCH = 45°$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SHA$, $\triangle SHB$ и $\triangle SHC$. Они имеют общий катет SH (высота пирамиды). Так как углы при основаниях этих треугольников равны 45°, то эти треугольники являются равнобедренными. Отсюда следует, что вторые катеты этих треугольников равны первому катету SH:

$SH = HA$
$SH = HB$
$SH = HC$

Следовательно, $HA = HB = HC$. Это означает, что точка H равноудалена от всех вершин треугольника ABC, а значит, H является центром описанной окружности вокруг треугольника ABC.

Радиус R описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 6$ см:

$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Поскольку треугольник $\triangle SHA$ является прямоугольным и равнобедренным, его катеты равны: $h = SH = HA$. Так как $HA = R$, то высота пирамиды равна радиусу описанной окружности основания.

$h = R = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.