Номер 16, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

16. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно $2d$, а сторона основания — $d$. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$) равна сумме площади ее основания ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Сначала найдем площадь основания. В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. По условию, сторона основания равна $d$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставив $a=d$, получаем площадь основания:

$S_{осн} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4}$

Далее найдем площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из трех одинаковых равнобедренных треугольников (боковых граней). Боковые ребра каждой грани равны $2d$, а сторона основания — $d$. Чтобы найти площадь одной такой грани, нам нужно найти ее высоту, проведенную к основанию. Эта высота называется апофемой пирамиды ($h_a$).

Апофему можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром (гипотенуза), апофемой (катет) и половиной стороны основания (второй катет).

$h_a^2 + (\frac{d}{2})^2 = (2d)^2$

$h_a^2 = 4d^2 - \frac{d^2}{4} = \frac{16d^2 - d^2}{4} = \frac{15d^2}{4}$

$h_a = \sqrt{\frac{15d^2}{4}} = \frac{d\sqrt{15}}{2}$

Теперь можем вычислить площадь одной боковой грани ($S_{грань}$):

$S_{грань} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot d \cdot \frac{d\sqrt{15}}{2} = \frac{d^2\sqrt{15}}{4}$

Площадь всей боковой поверхности ($S_{бок}$) — это сумма площадей трех таких граней:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{грань} = 3 \cdot \frac{d^2\sqrt{15}}{4} = \frac{3d^2\sqrt{15}}{4}$

Наконец, найдем площадь полной поверхности пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4} + \frac{3d^2\sqrt{15}}{4}$

Для удобства вынесем общий множитель $\frac{d^2\sqrt{3}}{4}$ за скобки, учитывая, что $\sqrt{15} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$:

$S_{полн} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4} + \frac{3d^2\sqrt{3}\sqrt{5}}{4} = \frac{d^2\sqrt{3}(1 + 3\sqrt{5})}{4}$

Ответ: $ \frac{d^2\sqrt{3}(1 + 3\sqrt{5})}{4} $.