Номер 12, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

12. Известная пирамида Хеопса в Египте — правильная четырехугольная пирамида, высота которой приближенно равна 147 м, а площадь основания — 5,3 га. Найдите угол наклона ее бокового ребра к плоскости основания.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. В случае правильной четырехугольной пирамиды, пусть ее вершина будет $P$, а основание — квадрат $ABCD$. Центр основания, точка $O$, является точкой пересечения диагоналей квадрата. Отрезок $PO$ — это высота пирамиды $H$, а отрезок $OA$ — это проекция бокового ребра $PA$ на плоскость основания. Таким образом, искомый угол — это угол $\alpha = \angle PAO$ в прямоугольном треугольнике $POA$, где $\angle POA = 90^\circ$.

Для нахождения угла $\alpha$ воспользуемся определением тангенса в прямоугольном треугольнике $POA$:$\tan(\alpha) = \frac{PO}{OA} = \frac{H}{OA}$Высота пирамиды дана по условию: $H \approx 147 \text{ м}$. Нам необходимо найти длину проекции $OA$.

Площадь основания $S_{осн}$ составляет $5,3$ га. Переведем эту величину в квадратные метры, учитывая, что $1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$:$S_{осн} = 5.3 \times 10000 = 53000 \text{ м}^2$Основание пирамиды — квадрат со стороной $a$. Его площадь равна $S_{осн} = a^2$. Диагональ квадрата $d$ связана со стороной соотношением $d = a\sqrt{2}$. Проекция бокового ребра $OA$ равна половине диагонали основания: $OA = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.Мы можем выразить длину $OA$ через площадь основания. Поскольку $a = \sqrt{S_{осн}}$, то:$OA = \frac{\sqrt{S_{осн}}\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\frac{2 S_{осн}}{4}} = \sqrt{\frac{S_{осн}}{2}}$Подставим числовое значение площади:$OA = \sqrt{\frac{53000}{2}} = \sqrt{26500} \text{ м}$

Теперь, когда известны оба катета треугольника $POA$, мы можем вычислить тангенс угла $\alpha$:$\tan(\alpha) = \frac{H}{OA} = \frac{147}{\sqrt{26500}}$Произведем вычисления: $\sqrt{26500} \approx 162.788 \text{ м}$.$\tan(\alpha) \approx \frac{147}{162.788} \approx 0.90301$Искомый угол $\alpha$ найдем как арктангенс полученного значения:$\alpha = \arctan(0.90301) \approx 42.086^\circ$

Округлив результат до десятых, получаем, что угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет примерно $42.1^\circ$.

Ответ: приближенно $42.1^\circ$.