Номер 17, страница 27 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

17. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник. Его высота равна 12 дм, а основание – 8 дм. Каждое боковое ребро пирамиды равно 15 дм. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABC$, основанием которой является равнобедренный треугольник $ABC$. Пусть $AC = BC$. Высота основания, проведенная к основанию $AB$, равна $CH = 12$ дм, а основание $AB = 8$ дм. Каждое боковое ребро пирамиды равно $l = 15$ дм, то есть $SA = SB = SC = 15$ дм. Требуется найти высоту пирамиды $SO = H$.

Так как все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина $S$ проецируется в центр $O$ окружности, описанной около основания $ABC$. Расстояние от центра описанной окружности до любой из вершин треугольника является радиусом этой окружности $R$. Таким образом, $OA = OB = OC = R$.

Высота пирамиды $H=SO$, боковое ребро $l=SC$ и радиус описанной окружности основания $R=OC$ образуют прямоугольный треугольник $SOC$ (с прямым углом $SOC$). По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + R^2$

Отсюда, высота пирамиды $H$ может быть найдена как:

$H = \sqrt{l^2 - R^2}$

Найдем радиус $R$ описанной окружности основания. Для этого сначала найдем длины боковых сторон треугольника $ABC$ и его площадь.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ высота $CH$, проведенная к основанию $AB$, является также медианой. Следовательно, $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ дм.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. По теореме Пифагора найдем боковую сторону $AC$:

$AC^2 = AH^2 + CH^2 = 4^2 + 12^2 = 16 + 144 = 160$

$AC = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$ дм.

Таким образом, стороны треугольника в основании: $a = 8$ дм, $b = 4\sqrt{10}$ дм, $c = 4\sqrt{10}$ дм.

Площадь треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 = 48$ дм$^2$.

Радиус описанной окружности $R$ можно найти по формуле:

$R = \frac{abc}{4S_{ABC}} = \frac{AB \cdot AC \cdot BC}{4S_{ABC}} = \frac{8 \cdot 4\sqrt{10} \cdot 4\sqrt{10}}{4 \cdot 48} = \frac{8 \cdot 16 \cdot 10}{192} = \frac{1280}{192}$

Упростим дробь:

$R = \frac{1280}{192} = \frac{640}{96} = \frac{320}{48} = \frac{160}{24} = \frac{80}{12} = \frac{20}{3}$ дм.

Теперь, зная радиус $R$ и длину бокового ребра $l=15$ дм, мы можем найти высоту пирамиды $H$:

$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{15^2 - (\frac{20}{3})^2} = \sqrt{225 - \frac{400}{9}}$

$H = \sqrt{\frac{225 \cdot 9 - 400}{9}} = \sqrt{\frac{2025 - 400}{9}} = \sqrt{\frac{1625}{9}}$

$H = \frac{\sqrt{1625}}{3}$

Упростим корень: $1625 = 25 \cdot 65$.

$H = \frac{\sqrt{25 \cdot 65}}{3} = \frac{5\sqrt{65}}{3}$ дм.

Ответ: Высота пирамиды равна $\frac{5\sqrt{65}}{3}$ дм.