Номер 23, страница 28 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

23. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 10 дм, а боковое ребро с плоскостью ее основания образует угол $45^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида SABC, где ABC – равносторонний треугольник в основании, а S – вершина пирамиды. Сторона основания $a = AB = BC = CA = 10$ дм.

Угол между боковым ребром (например, SC) и плоскостью основания – это угол между ребром SC и его проекцией OC на плоскость основания, где O – центр треугольника ABC (и основание высоты пирамиды SO). По условию, $∠SCO = 45°$.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a$, где $P_{осн}$ – периметр основания, а $h_a$ – апофема (высота боковой грани).

Периметр основания: $P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 10 = 30$ дм. Апофема – это высота SM, проведенная в боковой грани SBC к стороне основания BC.

Для нахождения апофемы SM рассмотрим прямоугольный треугольник SOM. По теореме Пифагора $SM^2 = SO^2 + OM^2$. Нам нужно найти высоту пирамиды SO и отрезок OM.

1. Найдем высоту пирамиды SO. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC. Катет SO – высота пирамиды. Катет OC – это радиус R окружности, описанной около основания ABC. Для равностороннего треугольника со стороной $a$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. $OC = R = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ дм. В треугольнике SOC нам известен угол $∠SCO = 45°$. Так как треугольник прямоугольный, то и $∠OSC = 45°$, следовательно, треугольник SOC – равнобедренный. Значит, $SO = OC = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ дм.

2. Найдем отрезок OM. Отрезок OM – это радиус r окружности, вписанной в основание ABC. Для равностороннего треугольника со стороной $a$: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$. $OM = r = \frac{10}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ дм.

3. Найдем апофему SM. В прямоугольном треугольнике SOM: $SM^2 = SO^2 + OM^2 = (\frac{10\sqrt{3}}{3})^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2$ $SM^2 = \frac{100 \cdot 3}{9} + \frac{25 \cdot 3}{9} = \frac{300}{9} + \frac{75}{9} = \frac{375}{9}$ $SM = \sqrt{\frac{375}{9}} = \frac{\sqrt{375}}{3} = \frac{\sqrt{25 \cdot 15}}{3} = \frac{5\sqrt{15}}{3}$ дм. Итак, апофема $h_a = \frac{5\sqrt{15}}{3}$ дм.

4. Вычислим площадь боковой поверхности. $S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P_{осн} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{5\sqrt{15}}{3}$ $S_{бок} = 15 \cdot \frac{5\sqrt{15}}{3} = 5 \cdot 5\sqrt{15} = 25\sqrt{15}$ дм².

Ответ: $25\sqrt{15}$ дм².