Номер 3, страница 30 - гдз по геометрии 11 класс учебник Гусев, Кайдасов

3. На модели правильной усеченной пирамиды выполните необходимые измерения и вычислите площади ее боковой и полной поверхностей.

Поскольку задача предполагает работу с физической моделью, для демонстрации решения мы возьмем гипотетическую правильную усеченную четырехугольную пирамиду. У такой пирамиды основаниями являются квадраты, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Для вычисления площадей нам потребуется измерить три величины: сторону нижнего основания, сторону верхнего основания и апофему (высоту боковой грани).

Предположим, что в результате измерений нашей модели мы получили следующие значения:

• Сторона нижнего основания: $a_1 = 10$ см.

• Сторона верхнего основания: $a_2 = 4$ см.

• Апофема: $h = 5$ см.

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$)

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды вычисляется как произведение полусуммы периметров оснований на апофему. Периметры оснований ($P_1$ и $P_2$) для нашей квадратной пирамиды равны:

$P_1 = 4a_1 = 4 \cdot 10 = 40$ см.

$P_2 = 4a_2 = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Формула для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h$

Подставим наши значения:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(40 + 16) \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 56 \cdot 5 = 28 \cdot 5 = 140$ см$^2$.

Ответ: Площадь боковой поверхности равна $140$ см$^2$.

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$)

Площадь полной поверхности — это сумма площади боковой поверхности и площадей двух оснований ($S_{осн1}$ и $S_{осн2}$).

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$

Сначала найдем площади оснований. Так как основаниями являются квадраты, их площадь вычисляется по формуле $S = a^2$.

Площадь нижнего основания:

$S_{осн1} = a_1^2 = 10^2 = 100$ см$^2$.

Площадь верхнего основания:

$S_{осн2} = a_2^2 = 4^2 = 16$ см$^2$.

Теперь, зная все компоненты, вычислим площадь полной поверхности:

$S_{полн} = 140 + 100 + 16 = 256$ см$^2$.

Ответ: Площадь полной поверхности равна $256$ см$^2$.